Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x y, d A; onde D é a região limitada por y=\sqrt{x}, y=6-x е y=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla da função sobre a região D:
\iint_{D} x y\, dA,
onde a região D é limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=6-x e y=0.
Informações dadas (explicitadas):
  • Curva 1: y=\sqrt{x}.
  • Curva 2: y=6-x.
  • Curva 3: y=0 (eixo x).
  • A integral a calcular é \iint_{D} x y\, dA.
O que se pede: encontrar o valor numérico de \iint_{D} x y\, dA.

Passo 2

Encontrar os pontos de intersecção entre as curvas, porque eles definem os limites da região D.
Intersecção entre y=\sqrt{x} e y=0:
\sqrt{x}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
logo ponto (0,0).
Intersecção entre y=6-x e y=0:
6-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=6,
logo ponto (6,0).
Intersecção entre y=\sqrt{x} e y=6-x: resolver
\sqrt{x}=6-x.
Para poder elevar ao quadrado é preciso que 6-x\ge 0 (pois \sqrt{x}\ge 0), ou seja x\le 6. Elevando ao quadrado:
x=(6-x)^2=36-12x+x^2.
Passando tudo para um lado:
0=x^2-13x+36.
Resolver a quadrática:
x=\frac{13\pm\sqrt{13^2-4\cdot1\cdot36}}{2}=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm5}{2}.
As raízes são x=9 e x=4. Como precisamos de x\le6, descartamos x=9 (gera 6-x<0). Portanto a intersecção válida é x=4 e
y=\sqrt{4}=2,
logo ponto (4,2).
Resumo dos vértices da região D: (0,0), (4,2), (6,0).

Passo 3

Descrever a região D. Traçando mentalmente ou esboçando:
  • Entre x=0 e x=4 a curva superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=0.
  • Entre x=4 e x=6 a curva superior é y=6-x e a inferior é y=0.
Portanto é conveniente dividir a integração em duas faixas de x:
  • Para x\in[0,4]: y varia de 0 até \sqrt{x}.
  • Para x\in[4,6]: y varia de 0 até 6-x.

Passo 4

Montar a integral como soma de duas integrais iteradas (ordem d y\, d x, integrando primeiro em y):
\iint_{D} x y\, dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} x y\, dy\right)dx + \int_{x=4}^{6}\left(\int_{y=0}^{6-x} x y\, dy\right)dx.
Explicação rápida da escolha: integrar primeiro em y é natural porque, para cada x fixo, as curvas que limitam y são funções simples de x (ou zero). Isso permite escrever limites y=0 a y= função de x sem complicar a parametrização.

Passo 5

Calcular a integral interna geral \int x y\, dy. Aqui x é tratado como constante ao integrar em y. Usar a primitiva de y:
\int x y\, dy = x \int y\, dy = x\cdot\frac{y^2}{2} = \frac{x}{2} y^2.
Usaremos essa primitiva para avaliar os dois termos.

Passo 6

Calcular o primeiro termo (para x\in[0,4]):
\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} x y\, dy\right)dx = \int_{0}^{4} \frac{x}{2}\bigl[y^2\bigr]_{0}^{\sqrt{x}}\, dx = \int_{0}^{4} \frac{x}{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2\, dx.
Como \bigl(\sqrt{x}\bigr)^2=x, temos
\int_{0}^{4} \frac{x}{2}\cdot x\, dx = \int_{0}^{4} \frac{1}{2} x^2\, dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4^3}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{3} = \frac{32}{3}.

Passo 7

Calcular o segundo termo (para x\in[4,6]):
\int_{x=4}^{6}\left(\int_{y=0}^{6-x} x y\, dy\right)dx = \int_{4}^{6} \frac{x}{2}\bigl[y^2\bigr]_{0}^{6-x}\, dx = \frac{1}{2}\int_{4}^{6} x(6-x)^2\, dx.
Expandir o quadrado:
(6-x)^2=36-12x+x^2,
então
\frac{1}{2}\int_{4}^{6} x(36-12x+x^2)\, dx = \frac{1}{2}\int_{4}^{6} (36x-12x^2+x^3)\, dx.
Integrando termo a termo:
\int (36x-12x^2+x^3)\, dx = 18x^2-4x^3+\tfrac{1}{4}x^4.
Avaliar de 4 a 6:
\left[18x^2-4x^3+\tfrac{1}{4}x^4\right]_{4}^{6} = \bigl(18\cdot6^2-4\cdot6^3+\tfrac{1}{4}6^4\bigr) - \bigl(18\cdot4^2-4\cdot4^3+\tfrac{1}{4}4^4\bigr).
Calcular os valores:
18\cdot6^2=18\cdot36=648, \qquad 4\cdot6^3=4\cdot216=864, \qquad \tfrac{1}{4}6^4=\tfrac{1}{4}\cdot1296=324,
logo para x=6 obtemos 648-864+324=108.
Para x=4:
18\cdot4^2=18\cdot16=288, \qquad 4\cdot4^3=4\cdot64=256, \qquad \tfrac{1}{4}4^4=\tfrac{1}{4}\cdot256=64,
logo para x=4 obtemos 288-256+64=96.
Diferença: 108-96=12. Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\cdot 12 = 6.
Portanto o segundo termo vale 6.

Passo 8

Somar os dois termos obtidos:
\iint_{D} x y\, dA = \frac{32}{3} + 6 = \frac{32}{3} + \frac{18}{3} = \frac{50}{3}.
Interpretação final rápida: o resultado é uma área “ponderada” por x y sobre a região descrita; os cálculos foram feitos dividindo a região para ter limites simples em y para cada faixa de x.

Resposta

\dfrac{50}{3}

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