Calcule a integral dupla.
; onde
é a região limitada por
,
е
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla da função sobre a região
:
onde a região
é limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas (explicitadas):
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Curva 3:
(eixo ). - A integral a calcular é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico de
.
Passo 2
Encontrar os pontos de intersecção entre as curvas, porque eles definem os limites da região
.
Intersecção entre
e
:
logo ponto
.
Intersecção entre
e
:
logo ponto
.
Intersecção entre
e
: resolver
Para poder elevar ao quadrado é preciso que
(pois
), ou seja
. Elevando ao quadrado:
Passando tudo para um lado:
Resolver a quadrática:
As raízes são
e
. Como precisamos de
, descartamos
(gera
). Portanto a intersecção válida é
e
logo ponto
.
Resumo dos vértices da região
:
,
,
.
Passo 3
Descrever a região
. Traçando mentalmente ou esboçando:
- Entre
e a curva superior é e a inferior é . - Entre
e a curva superior é e a inferior é .
Portanto é conveniente dividir a integração em duas faixas de
:
- Para
: varia de até . - Para
: varia de até .
Passo 4
Montar a integral como soma de duas integrais iteradas (ordem
, integrando primeiro em
):
Explicação rápida da escolha: integrar primeiro em
é natural porque, para cada
fixo, as curvas que limitam
são funções simples de
(ou zero). Isso permite escrever limites
a
função de
sem complicar a parametrização.
Passo 5
Calcular a integral interna geral
. Aqui
é tratado como constante ao integrar em
. Usar a primitiva de
:
Usaremos essa primitiva para avaliar os dois termos.
Passo 6
Calcular o primeiro termo (para
):
Como
, temos
Passo 7
Calcular o segundo termo (para
):
Expandir o quadrado:
então
Integrando termo a termo:
Avaliar de
a
:
Calcular os valores:
logo para
obtemos
.
Para
:
logo para
obtemos
.
Diferença:
. Multiplicando pelo
que estava fora:
Portanto o segundo termo vale
.
Passo 8
Somar os dois termos obtidos:
Interpretação final rápida: o resultado é uma área “ponderada” por
sobre a região descrita; os cálculos foram feitos dividindo a região para ter limites simples em
para cada faixa de
.