Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x d A, D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \pi, 0 \leqslant y \leqslant \operatorname{sen} x\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \iint_{D} x\,dA em que
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le \pi,\;0\le y\le \sin x\}.
O conteúdo aqui é integral dupla e usaremos o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada, além de usar integração por partes para resolver a integral em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
\iint_{D} x\,dA = \int_{x=0}^{\pi}\Bigl(\int_{y=0}^{\sin x} x\,dy\Bigr)dx.
Como x é constante em relação a y, a integral interna é
\int_{y=0}^{\sin x} x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{0}^{\sin x} = x\sin x.
Logo,
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx. Usamos integração por partes tomando
u = x,\quad dv = \sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = -\cos x.
Então
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.

Passo 4

Avaliando de 0 a \pi,
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \bigl[-x\cos x + \sin x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\pi\cos\pi + \sin\pi\bigr) - \bigl(-0\cos0 + \sin0\bigr) = -\pi(-1) - 0 = \pi.

Resposta

\pi

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