Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolvido é geometria da região de integração, troca de ordem e uma integral de função composta que pode ser resolvida por substituição.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração
no plano
. As restrições são
Isso significa que
. Invertendo a ordem,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Assim
Passo 3
Na forma trocada, a integral interna em
é simples porque
independe de
:
Logo a integral dupla vira
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
Quando
,
, e quando
,
. Assim
Passo 5
Integramos
:
Resposta
O valor da integral é
.