Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \operatorname{sen}(x+y) d A, R=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \pi / 2,0 \leqslant y \leqslant \pi / 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R}\sin(x+y)\,dA
no retângulo \displaystyle R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
Aqui o conteúdo é cálculo de integrais duplas em regiões retangulares, que podemos fazer separando em integrais iteradas.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y, mantendo x fixo. A integral interna é
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x+y)\,dy.
Uma primitiva de \sin(x+y) em relação a y é -\cos(x+y).

Passo 3

Avaliação da primitiva de y=0 até y=\tfrac{\pi}{2}:
-\cos\!\Bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\;+\;\cos(x) =\;-(-\sin x)\;+\;\cos x =\sin x+\cos x.
Logo a integral em y resulta em \sin x+\cos x.

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\,dx =\bigl[-\cos x+\sin x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =(0+1)-(-1+0) =2.

Resposta

\displaystyle 2

Exercícios relacionados