Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{y}^{\sqrt{\pi}} \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y}^{\sqrt{\pi}}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolvido é geometria da região de integração, troca de ordem e uma integral de função composta que pode ser resolvida por substituição.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração D no plano (x,y). As restrições são
0\le y\le \sqrt{\pi}, \quad y\le x\le \sqrt{\pi}.
Isso significa que D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le\sqrt{\pi}\}. Invertendo a ordem, x varia de 0 a \sqrt{\pi} e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y}^{\sqrt{\pi}}\cos(x^{2})\,dx\,dy =\int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y=0}^{x}\cos(x^{2})\,dy\,dx.

Passo 3

Na forma trocada, a integral interna em y é simples porque \cos(x^{2}) independe de y:
\int_{y=0}^{x}\cos(x^{2})\,dy =\cos(x^{2})\cdot \bigl[y\bigr]_{0}^{x} =\cos(x^{2})\cdot x.
Logo a integral dupla vira
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\,\cos(x^{2})\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\,\cos(x^{2})\,dx, fazemos a substituição
u = x^{2},\quad du = 2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\tfrac12\,du.
Quando x=0, u=0, e quando x=\sqrt{\pi}, u=\pi. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\,\cos(x^{2})\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos(u)\,du.

Passo 5

Integramos \cos(u):
\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos(u)\,du =\tfrac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi} =\tfrac12\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr) =\tfrac12(0-0) =0.

Resposta

O valor da integral é 0.

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