Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
; onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
,
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A região
está no primeiro quadrante (ou seja, e ). - As curvas que limitam
são: - a reta
(eixo ); - a reta
; - o círculo
(raio ).
- a reta
- É pedido o valor da integral dupla da função
sobre , usando mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Revisão didática da mudança para coordenadas polares (passo a passo, sem pular etapas).
Definição de coordenadas polares:
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Elemento de área em coordenadas polares:
o elemento de área diferencial se transforma em
o elemento de área diferencial
Explicação intuitiva: um pequeno retângulo em
tem lados aproximados
e
, então sua área é
. Formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação
.
Transformação do integrando:
a função em coordenadas polares fica
a função
pois
.
Portanto, a integral em polares será do tipo
Passo 3
Determinar os limites de integração para a região
em coordenadas polares.
Usar as fronteiras dadas:
- A circunferência
corresponde a , ou seja . - A reta
corresponde a (no primeiro quadrante). - A reta
corresponde a , ou seja . - Como estamos no primeiro quadrante,
varia entre e . - Para cada
fixo nessa faixa, vai do centro até a circunferência: varia de a .
Logo os limites são
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados.
Substituindo o integrando e o elemento de área:
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Fazer a substituição padrão para esse tipo de integral:
seja . Então
, ou
.
seja
Assim
Passo 6
Agora integrar em
:
a integral completa fica
a integral completa fica
Interpretando: como a parte em
produziu um número (independente de
), a integração em
apenas multiplica por o comprimento do intervalo
, que é
.