Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
\iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} d A; onde D é a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=x e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=x e x^{2}+y^{2}=4.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região D está no primeiro quadrante (ou seja, x\ge 0 e y\ge 0).
  • As curvas que limitam D são:
    • a reta \,y=0 (eixo x);
    • a reta \,y=x;
    • o círculo \,x^{2}+y^{2}=4 (raio 2).
  • É pedido o valor da integral dupla da função \dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}} sobre D, usando mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Revisão didática da mudança para coordenadas polares (passo a passo, sem pular etapas).
Definição de coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Elemento de área em coordenadas polares:
o elemento de área diferencial dA se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximados dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
Transformação do integrando:
a função \dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}} em coordenadas polares fica
\frac{1}{1+r^{2}},
pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Portanto, a integral em polares será do tipo
\iint (\text{integrando em }r,\theta)\; r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração para a região D em coordenadas polares.
Usar as fronteiras dadas:
  • A circunferência x^{2}+y^{2}=4 corresponde a r^{2}=4, ou seja r=2.
  • A reta y=0 corresponde a \theta=0 (no primeiro quadrante).
  • A reta y=x corresponde a \tan\theta=1, ou seja \theta=\dfrac{\pi}{4}.
  • Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia entre 0 e \dfrac{\pi}{4}.
  • Para cada \theta fixo nessa faixa, r vai do centro até a circunferência: r varia de 0 a 2.
Logo os limites são
0\le \theta \le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r\le 2.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados.
Substituindo o integrando e o elemento de área:
\iint_{D}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{2}\frac{1}{1+r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{2}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr.
Fazer a substituição padrão para esse tipo de integral:
seja u=1+r^{2}. Então du=2r\,dr, ou r\,dr=\dfrac{1}{2}\,du.
Assim
\int_{0}^{2}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr = \int_{u(0)=1}^{u(2)=1+2^{2}=5}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{2}\ln 5.

Passo 6

Agora integrar em \theta:
a integral completa fica
\int_{0}^{\pi/4}\left(\frac{1}{2}\ln 5\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\ln 5\cdot \int_{0}^{\pi/4} d\theta = \frac{1}{2}\ln 5\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}\ln 5.
Interpretando: como a parte em r produziu um número (independente de \theta), a integração em \theta apenas multiplica por o comprimento do intervalo \theta\in[0,\pi/4], que é \pi/4.

Resposta

\frac{\pi}{8}\ln 5

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