Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
\iint_{D} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A; onde
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA
onde a região D é o disco centrado na origem de raio 3, isto é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Integrando a função \operatorname{sen}\big(x^{2}+y^{2}\big) sobre todo o disco de raio 3.
  • A função depende apenas de x^{2}+y^{2}, então é natural usar coordenadas polares.
  • Objetivo final: obter um valor numérico (expressão) da integral sobre D.

Passo 2

Explicando mudança para coordenadas polares (como e por quê):
  • Em coordenadas polares usamos \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, onde \,r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo.
  • Neste problema \,x^{2}+y^{2}=r^{2}. Isso simplifica bastante a integranda porque \operatorname{sen}(x^{2}+y^{2}) vira \operatorname{sen}(r^{2}).
  • O elemento de área dA em coordenadas polares vale r\,dr\,d\theta. Breve justificativa: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta. Em termos mais formais isso vem do jacobiano da transformação.
  • Como a região D é o disco de raio 3, os limites são 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em polares:
\iint_{D}\operatorname{sen}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\,r\,dr\,d\theta.
Aqui cada parte significa:
  • \operatorname{sen}\big(r^{2}\big) é a integranda transformada.
  • r\,dr\,d\theta é o elemento de área.
  • A integração interna (em r) vai de 0 a 3; a externa (em \theta) vai de 0 a 2\pi.

Passo 4

Resolver a integral interna em r. Observação: a integral em r tem a forma \int r\sin(r^{2})\,dr, que sugere a substituição u=r^{2}.
  • Faça a substituição \,u=r^{2}. Então \,du=2r\,dr, ou seja \,r\,dr=\dfrac{du}{2}.
  • Quando r=0 temos u=0. Quando r=3 temos u=9.
    Portanto
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\,r\,dr =\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\operatorname{sen}(u)\,du.
Calcule a integral de \sin:
\int_{0}^{9}\operatorname{sen}(u)\,du=[-\cos(u)]_{0}^{9}=-\cos(9)+\cos(0)=1-\cos(9).
Assim
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\,r\,dr=\frac{1}{2}\big(1-\cos(9)\big).

Passo 5

Agora integramos em \theta. Como o resultado da integral em r é independente de \theta, temos
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\big(1-\cos(9)\big)\right)d\theta =\frac{1}{2}\big(1-\cos(9)\big)\int_{0}^{2\pi}d\theta =\frac{1}{2}\big(1-\cos(9)\big)\cdot 2\pi.
Simplificando:
\frac{1}{2}\cdot 2\pi\big(1-\cos(9)\big)=\pi\big(1-\cos(9)\big).

Resposta

\pi\bigl(1-\cos(9)\bigr)

Exercícios relacionados