Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
; onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o disco centrado na origem de raio
, isto é
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Integrando a função
sobre todo o disco de raio . - A função depende apenas de
, então é natural usar coordenadas polares. - Objetivo final: obter um valor numérico (expressão) da integral sobre
.
Passo 2
Explicando mudança para coordenadas polares (como e por quê):
- Em coordenadas polares usamos
e , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo. - Neste problema
. Isso simplifica bastante a integranda porque vira . - O elemento de área
em coordenadas polares vale . Breve justificativa: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área é . Em termos mais formais isso vem do jacobiano da transformação. - Como a região
é o disco de raio , os limites são e .
Passo 3
Escrevendo a integral em polares:
Aqui cada parte significa:
-
é a integranda transformada. -
é o elemento de área. - A integração interna (em
) vai de a ; a externa (em ) vai de a .
Passo 4
Resolver a integral interna em
. Observação: a integral em
tem a forma
, que sugere a substituição
.
- Faça a substituição
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos .
Portanto
Calcule a integral de
:
Assim
Passo 5
Agora integramos em
. Como o resultado da integral em
é independente de
, temos
Simplificando: