Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x^{3} y^{2} d A, \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\right\},

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{3}y^{2}\,dA,
onde
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 \le x \le 2,\,-x \le y \le x\}.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos aplicar o Teorema de Fubini para transformar em iteradas.

Passo 2

Segundo Fubini, podemos escrever
\iint_{D} x^{3}y^{2}\,dA = \int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=-x}^{x}x^{3}y^{2}\,dy\Bigr)\,dx.
Aqui, dentro da integral em y, x^{3} é constante.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=-x}^{x}x^{3}y^{2}\,dy = x^{3}\int_{-x}^{x}y^{2}\,dy = x^{3}\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=-x}^{y=x} = x^{3}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}-\frac{(-x)^{3}}{3}\Bigr).
Como (-x)^{3}=-x^{3}, temos
\frac{x^{3}}{3}-\frac{-x^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3},
logo a interna vale
x^{3}\cdot\frac{2x^{3}}{3} = \frac{2}{3}\,x^{6}.

Passo 4

Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{2}\frac{2}{3}\,x^{6}\,dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{2}x^{6}\,dx = \frac{2}{3}\Bigl[\frac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{2^{7}}{7}.

Passo 5

Calcular o valor numérico:
2^{7}=128 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}\cdot\frac{128}{7} = \frac{256}{21}.

Resposta

\iint_{D} x^{3}y^{2}\,dA = \frac{256}{21}.

Exercícios relacionados