Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x \sqrt{y^{2}-x^{2}} d A, \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq y\right\},

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla
\iint_{D} x \,\sqrt{y^{2}-x^{2}}\;dA,
onde
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le y \le 1,\;0\le x\le y\}.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e avaliação de uma integral iterada.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
O domínio D em (r,\theta) satisfaz
0\le r\sin\theta\le1,\quad 0\le r\cos\theta\le r\sin\theta,\quad 0\le\theta\le\frac\pi2.
Da condição \cos\theta\le\sin\theta vem \theta\in[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2] e de r\sin\theta\le1 vem 0\le r\le1/\sin\theta.

Passo 3

Substituindo no integrando temos
x\sqrt{y^2-x^2} = (r\cos\theta)\,\sqrt{r^2\sin^2\theta - r^2\cos^2\theta} = r^2\cos\theta\,\sqrt{\sin^2\theta - \cos^2\theta},
então a integral vira
\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1/\sin\theta} \Bigl(r^2\cos\theta\,\sqrt{\sin^2\theta-\cos^2\theta}\Bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos\theta\sqrt{\sin^2\theta-\cos^2\theta} \Bigl(\int_{0}^{1/\sin\theta}r^3\,dr\Bigr)d\theta.
O integral em r é
\int_{0}^{1/\sin\theta}r^3\,dr =\frac{1}{4\sin^4\theta}.
Logo sobra
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\theta\,\sqrt{\sin^2\theta-\cos^2\theta}}{4\,\sin^4\theta}\,d\theta.

Passo 4

Fazemos a substituição u=\sin\theta, logo du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=\pi/4 temos u=\tfrac{\sqrt2}{2} e quando \theta=\pi/2 temos u=1. O integrando fica
\frac{1}{4}\int_{u=\sqrt2/2}^{1} \frac{\sqrt{u^2-(1-u^2)}}{u^4}\,du =\frac{1}{4}\int_{\sqrt2/2}^{1}\frac{\sqrt{2u^2-1}}{u^4}\,du.

Passo 5

Para calcular
\int\frac{\sqrt{2u^2-1}}{u^4}\,du
fazemos uma primitiva por partes ou substituições trigonométricas. O resultado é
\int\frac{\sqrt{2u^2-1}}{u^4}\,du =\frac{(2u^2-1)\,\sqrt{2u^2-1}}{3\,u^3}+C.
Então a integral definida vale
\frac{1}{4}\,\Biggl[\frac{(2u^2-1)\,\sqrt{2u^2-1}}{3\,u^3}\Biggr]_{u=\sqrt2/2}^{1} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1\cdot1}{3\cdot1}-0\Bigr) =\frac{1}{12}.

Resposta

\iint_{D} x\sqrt{y^2-x^2}\,dA = \frac{1}{12}.

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