Calcule a integral dupla.
,
Passo 1
A gente quer calcular a integral dupla
onde
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e avaliação de uma integral iterada.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
O domínio
em
satisfaz
Da condição
vem
e de
vem
.
Passo 3
Substituindo no integrando temos
então a integral vira
O integral em
é
Logo sobra
Passo 4
Fazemos a substituição
, logo
. Quando
temos
e quando
temos
. O integrando fica
Passo 5
Para calcular
fazemos uma primitiva por partes ou substituições trigonométricas. O resultado é
Então a integral definida vale