Calcule a integral dupla.
\iint_{D} \frac{4 y}{x^{3}+2} d A, \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2 x\right\},

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{4\,y}{x^{3}+2}\,dA
no domínio
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1 \le x \le 2,\;0 \le y \le 2x\}.
O conteúdo principal é aplicar o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração (aqui integral iterada) e em seguida usar uma substituição para a integral em x.

Passo 2

Usamos a integral iterada, integrando primeiro em y:
\iint_{D} \frac{4\,y}{x^{3}+2}\,dA = \int_{x=1}^{2}\Bigl[\int_{y=0}^{2x}\frac{4\,y}{x^{3}+2}\,dy\Bigr]dx.
Como \frac{4}{x^3+2} é constante em y,
\int_{0}^{2x}\frac{4\,y}{x^{3}+2}\,dy = \frac{4}{x^{3}+2}\int_{0}^{2x}y\,dy = \frac{4}{x^{3}+2}\cdot\frac{(2x)^2}{2} = \frac{4}{x^{3}+2}\cdot 2x^2 = \frac{8x^2}{x^3+2}.

Passo 3

A integral passa a ser unidimensional em x:
\int_{1}^{2}\frac{8x^2}{x^3+2}\,dx.
Para resolvê-la, notamos que a derivada de x^3+2 é 3x^2, sugerindo a substituição u = x^3+2.

Passo 4

Fazendo u = x^3+2, temos du = 3x^2\,dx ou x^2\,dx = \tfrac{1}{3}\,du. Os limites em u são:
x=1\Rightarrow u=1^3+2=3,\quad x=2\Rightarrow u=2^3+2=10.
Logo,
\int_{1}^{2}\frac{8x^2}{x^3+2}\,dx =8\int_{1}^{2}\frac{x^2}{x^3+2}\,dx =8\int_{u=3}^{10}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du =\frac{8}{3}\int_{3}^{10}\frac{du}{u} =\frac{8}{3}\Bigl[\ln(u)\Bigr]_{3}^{10} =\frac{8}{3}\ln\!\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr).

Resposta

\frac{8}{3}\ln\!\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr).

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