Calcule a integral dupla.
\iint_{R} y^{2} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leq y \leq 1,-y-2 \leq x \leq y\right\}. GAB:
\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y^{2}\,dA,
onde a região R é dada por
  • limites em y: -1 \le y \le 1;
  • para cada y, limites em x: -y-2 \le x \le y.
Ou seja, a integral é sobre todos os pontos (x,y) que satisfazem essas desigualdades. O que se quer é o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Decidir a ordem de integração e escrever a integral iterada. O enunciado já fornece claramente os limites como intervalo para y e, para cada y, um intervalo para x. Então vamos integrar primeiro em x (internamente) e depois em y (externamente). Escrevendo a integral iterada:
\iint_{R} y^{2}\,dA = \int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx\right)dy.
Motivo prático: a função integrando é y^{2}, que não depende de x, então a integral interna em x fica muito simples — isso facilita muito os cálculos.

Passo 3

Calcular a integral interna em x. Como y^{2} é independente de x, a integral em x é o produto de y^{2} pelo comprimento do intervalo em x:
\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx = y^{2}\bigl(x\bigr)\Big|_{x=-y-2}^{x=y} = y^{2}\bigl(y - (-y-2)\bigr).
Agora simplificar o comprimento do intervalo:
y - (-y-2) = y + y + 2 = 2y + 2 = 2(y+1).
Portanto a integral interna vale
y^{2}\cdot 2(y+1) = 2y^{2}(y+1).

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral externa e obter uma integral unidimensional em y:
\iint_{R} y^{2}\,dA = \int_{-1}^{1} 2y^{2}(y+1)\,dy.
Expandir o integrando para ficar em polinômios fáceis de integrar:
2y^{2}(y+1) = 2(y^{3}+y^{2}) = 2y^{3}+2y^{2}.

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) do polinômio. Lembrando a regra básica: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando essa regra termo a termo:
\int (2y^{3}+2y^{2})\,dy = 2\left(\int y^{3}\,dy + \int y^{2}\,dy\right) = 2\left(\dfrac{y^{4}}{4} + \dfrac{y^{3}}{3}\right).
Simplificando o factor 2:
2\left(\dfrac{y^{4}}{4} + \dfrac{y^{3}}{3}\right) = \dfrac{y^{4}}{2} + \dfrac{2y^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a antiderivada nos limites y=-1 e y=1:
Primeiro em y=1:
\left(\dfrac{y^{4}}{2} + \dfrac{2y^{3}}{3}\right)\Bigg|_{y=1} = \dfrac{1^{4}}{2} + \dfrac{2\cdot 1^{3}}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}.
Agora em y=-1:
\left(\dfrac{y^{4}}{2} + \dfrac{2y^{3}}{3}\right)\Bigg|_{y=-1} = \dfrac{(-1)^{4}}{2} + \dfrac{2(-1)^{3}}{3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6}.

Passo 7

Subtrair o valor em y=-1 do valor em y=1 para obter a integral definida:
\int_{-1}^{1} 2y^{2}(y+1)\,dy = \dfrac{7}{6} - \left(-\dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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