Calcule a integral dupla. \iint_{R} y^{2} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leq y \leq 1,-y-2 \leq x \leq y\right\}. GAB: \frac{4}{3}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y^{2}\,dA,
onde a região R é dada por
limites em y: -1 \le y \le 1;
para cada y, limites em x: -y-2 \le x \le y.
Ou seja, a integral é sobre todos os pontos (x,y) que satisfazem essas desigualdades. O que se quer é o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Decidir a ordem de integração e escrever a integral iterada. O enunciado já fornece claramente os limites como intervalo para y e, para cada y, um intervalo para x. Então vamos integrar primeiro em x (internamente) e depois em y (externamente). Escrevendo a integral iterada:
Expandir o integrando para ficar em polinômios fáceis de integrar:
2y^{2}(y+1) = 2(y^{3}+y^{2}) = 2y^{3}+2y^{2}.
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) do polinômio. Lembrando a regra básica: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando essa regra termo a termo: