Calcule a integral dupla
\iint_{\Omega} \frac{y}{x^{5}+1} d A, \Omega=\left\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA, \qquad \Omega=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região \Omega é um conjunto de pontos com x variando de 0 a 1 e, para cada x, y variando de 0 até x^{2}.
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{y}{x^{5}+1}.
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre \Omega.

Passo 2

Vamos escolher a ordem de integração. Como os limites de y estão dados explicitamente em função de x ( 0\le y\le x^{2}) e x tem limites constantes ( 0 a 1), a escolha natural é integrar primeiro em y e depois em x.
Justificativa rápida (matemática e prática): a função f(x,y)=\dfrac{y}{x^{5}+1} é contínua no retângulo fechado [0,1]\times[0,1] exceto que o denominador é sempre positivo em [0,1] (pois x^{5}+1\ge 1), então não há problemas de integrabilidade e podemos aplicar a troca de integrais de forma segura. Na prática, integrar em y primeiro simplifica bastante porque a dependência em y é simples (é apenas y no numerador).
Escrevendo a integral com essa ordem:
\iint_{\Omega} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy.
Aqui x é tratado como constante dentro dessa integral. Posso fatorar \dfrac{1}{x^{5}+1} para fora da integral em y:
\int_{0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy = \frac{1}{x^{5}+1}\int_{0}^{x^{2}} y\,dy.
Agora calculo \int_{0}^{x^{2}} y\,dy. A antiderivada de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Portanto
\int_{0}^{x^{2}} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x^{2}} = \frac{(x^{2})^{2}}{2}-0 = \frac{x^{4}}{2}.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy = \frac{1}{x^{5}+1}\cdot\frac{x^{4}}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{x^{5}+1}.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\iint_{\Omega} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA = \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx.
Para calcular \int_{0}^{1}\dfrac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx usamos a substituição clássica adequada a esse tipo de integranda racional: seja
u=x^{5}+1.
Então
du=5x^{4}\,dx\quad\Rightarrow\quad x^{4}\,dx=\frac{du}{5}.
Quando x=0 temos u=0^{5}+1=1. Quando x=1 temos u=1^{5}+1=2.
Fazendo a mudança de variável na integral:
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{du}{u}.
A integral de \dfrac{1}{u} é \ln u. Então
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \frac{1}{5}\left.\ln u\right|_{1}^{2} = \frac{1}{5}\big(\ln 2-\ln 1\big).
Sabendo que \ln 1=0, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx = \frac{1}{5}\ln 2.

Passo 5

Voltando ao fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\iint_{\Omega} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA = \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{5}\ln 2\right) = \frac{1}{10}\ln 2.
Pequeno comentário final para motivar: o truque aqui foi perceber que integrar primeiro em y simplifica muito (transforma a dupla integral numa integral racional simples em x) e que a substituição u=x^{5}+1 casa perfeitamente com o numerador x^{4}\,dx. Se estiver nervoso na prova, lembra: procurar fatores que sejam derivadas de outras partes do integrando é um bom caminho — aqui 5x^{4} é a derivada de x^{5}, então era sinal verde para substituição.

Resposta

\dfrac{1}{10}\ln 2

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