A região \Omega é um conjunto de pontos com x variando de 0 a 1 e, para cada x, y variando de 0 até x^{2}.
A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{y}{x^{5}+1}.
A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre \Omega.
Passo 2
Vamos escolher a ordem de integração. Como os limites de y estão dados explicitamente em função de x (0\le y\le x^{2}) e x tem limites constantes (0 a 1), a escolha natural é integrar primeiro em y e depois em x.
Justificativa rápida (matemática e prática): a função f(x,y)=\dfrac{y}{x^{5}+1} é contínua no retângulo fechado [0,1]\times[0,1] exceto que o denominador é sempre positivo em [0,1] (pois x^{5}+1\ge 1), então não há problemas de integrabilidade e podemos aplicar a troca de integrais de forma segura. Na prática, integrar em y primeiro simplifica bastante porque a dependência em y é simples (é apenas y no numerador).
Pequeno comentário final para motivar: o truque aqui foi perceber que integrar primeiro em y simplifica muito (transforma a dupla integral numa integral racional simples em x) e que a substituição u=x^{5}+1 casa perfeitamente com o numerador x^{4}\,dx. Se estiver nervoso na prova, lembra: procurar fatores que sejam derivadas de outras partes do integrando é um bom caminho — aqui 5x^{4} é a derivada de x^{5}, então era sinal verde para substituição.