Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelos cilindros
e
.
Limitado pelos cilindros
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido limitado pelos dois cilindros cujas equações são
e
.
Informações dadas e importantes:
Informações dadas e importantes:
- As superfícies que limitam são os cilindros
e . - O parâmetro
é o raio comum (assume-se ). - A região é a interseção dos pontos
que satisfazem simultaneamente
O que se pede: calcular o volume dessa região.
Passo 2
Entendendo a forma da região e escolhendo uma maneira prática de calcular o volume.
Explicação geométrica intuitiva (passo a passo, sem pular):
- O cilindro
é um cilindro de eixo paralelo ao eixo : para cada fixo, a interseção é um círculo de raio no plano . - O cilindro
é um cilindro de eixo paralelo ao eixo : para cada fixo, a interseção é um círculo de raio no plano . - A região pedida é a interseção desses dois cilindros; por simetria observe que ela é simétrica em relação aos planos coordenados e centralizada na origem.
Escolha do método: usar “fatias” paralelas ao plano
variando a coordenada
. Por quê? Porque ambas as equações têm termo
, e se fixarmos um valor de
as restrições em
e
ficam independentes e fáceis de descrever (rectângulo no plano
). Esta é a ideia da integral por seções transversais: o volume é a integral da área da seção transversal ao longo da direção
.
Passo 3
Determinar a área da seção transversal para um
fixo.
Para um
fixo, as desigualdades que definem o sólido ficam:
desde que
. Isso significa que, para tal
,
varia entre
e
, e o mesmo para
. Portanto a seção no plano
para esse
é um retângulo de lados
Logo a área dessa seção é
válida para
. Para
não há seção (área zero).
Comentário didático sobre o que foi usado: aqui foi aplicado o princípio de que o volume pode ser obtido somando (integrando) as áreas das seções transversais ao longo da direção
. Cada seção é fácil de calcular porque as duas desigualdades se “separam” em condições sobre
e sobre
.
Passo 4
Escrever a integral que dá o volume e calcular.
A fórmula para o volume usando as seções transversais é
Como as seções existem para
, temos
e
. Substituindo
,
Agora calculamos a integral passo a passo:
Avaliaremos a primitiva nos extremos:
A diferença é
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Interpretação final e comentário sobre alternativa de solução.
Resultado final:
.
Comentário extra (didático e encorajador): outra forma comum de obter esse resultado é aproveitar a simetria dividindo a região em 8 octantes iguais e calcular o volume em um octante (onde ) e multiplicar por 8; nesse octante as restrições viram
e
e pode-se integrar facilmente usando as mesmas ideias. Escolhi a integração por fatias em
porque as desigualdades ficaram particularmente simples e a conta ficou curta — técnica útil para usar na prova quando há termos quadráticos repetidos numa coordenada. Força que tá indo bem!
Comentário extra (didático e encorajador): outra forma comum de obter esse resultado é aproveitar a simetria dividindo a região em 8 octantes iguais e calcular o volume em um octante (onde