Determine o volume do sólido dado.
Limitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=r^{2} e y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido limitado pelos dois cilindros cujas equações são x^{2}+y^{2}=r^{2} e y^{2}+z^{2}=r^{2}.
Informações dadas e importantes:
  • As superfícies que limitam são os cilindros x^{2}+y^{2}=r^{2} e y^{2}+z^{2}=r^{2}.
  • O parâmetro r é o raio comum (assume-se r>0).
  • A região é a interseção dos pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente x^{2}+y^{2}\le r^{2}\quad\text{e}\quad y^{2}+z^{2}\le r^{2}.
O que se pede: calcular o volume dessa região.

Passo 2

Entendendo a forma da região e escolhendo uma maneira prática de calcular o volume.
Explicação geométrica intuitiva (passo a passo, sem pular):
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=r^{2} é um cilindro de eixo paralelo ao eixo z: para cada z fixo, a interseção é um círculo de raio r no plano xy.
  • O cilindro y^{2}+z^{2}=r^{2} é um cilindro de eixo paralelo ao eixo x: para cada x fixo, a interseção é um círculo de raio r no plano yz.
  • A região pedida é a interseção desses dois cilindros; por simetria observe que ela é simétrica em relação aos planos coordenados e centralizada na origem.
Escolha do método: usar “fatias” paralelas ao plano xz variando a coordenada y. Por quê? Porque ambas as equações têm termo y^{2}, e se fixarmos um valor de y as restrições em x e z ficam independentes e fáceis de descrever (rectângulo no plano xz). Esta é a ideia da integral por seções transversais: o volume é a integral da área da seção transversal ao longo da direção y.

Passo 3

Determinar a área da seção transversal para um y fixo.
Para um y fixo, as desigualdades que definem o sólido ficam:
x^{2}\le r^{2}-y^{2} \qquad\text{e}\qquad z^{2}\le r^{2}-y^{2},
desde que r^{2}-y^{2}\ge0. Isso significa que, para tal y, x varia entre -\sqrt{r^{2}-y^{2}} e +\sqrt{r^{2}-y^{2}}, e o mesmo para z. Portanto a seção no plano xz para esse y é um retângulo de lados
\text{largura em }x = 2\sqrt{r^{2}-y^{2}},\qquad \text{altura em }z = 2\sqrt{r^{2}-y^{2}}.
Logo a área dessa seção é
A(y)=\bigl(2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\bigr)\cdot\bigl(2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\bigr) =4\bigl(r^{2}-y^{2}\bigr),
válida para |y|\le r. Para |y|>r não há seção (área zero).
Comentário didático sobre o que foi usado: aqui foi aplicado o princípio de que o volume pode ser obtido somando (integrando) as áreas das seções transversais ao longo da direção y. Cada seção é fácil de calcular porque as duas desigualdades se “separam” em condições sobre x e sobre z.

Passo 4

Escrever a integral que dá o volume e calcular.
A fórmula para o volume usando as seções transversais é
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} A(y)\,dy.
Como as seções existem para |y|\le r, temos y_{\min}=-r e y_{\max}=r. Substituindo A(y)=4(r^{2}-y^{2}),
V=\int_{-r}^{r} 4\bigl(r^{2}-y^{2}\bigr)\,dy.
Agora calculamos a integral passo a passo:
V=4\int_{-r}^{r}\bigl(r^{2}-y^{2}\bigr)\,dy =4\left[\;r^{2}y-\frac{y^{3}}{3}\;\right]_{-r}^{r}.
Avaliaremos a primitiva nos extremos:
\text{em }y=r:\quad r^{2}r-\frac{r^{3}}{3}=r^{3}-\frac{r^{3}}{3}=\frac{2}{3}r^{3},
\text{em }y=-r:\quad r^{2}(-r)-\frac{(-r)^{3}}{3}=-r^{3}+\frac{r^{3}}{3}=-\frac{2}{3}r^{3}.
A diferença é
\left(\frac{2}{3}r^{3}\right)-\left(-\frac{2}{3}r^{3}\right)=\frac{4}{3}r^{3}.
Multiplicando por 4 obtemos
V=4\cdot\frac{4}{3}r^{3}=\frac{16}{3}r^{3}.

Passo 5

Interpretação final e comentário sobre alternativa de solução.
Resultado final: V=\dfrac{16}{3}r^{3}.
Comentário extra (didático e encorajador): outra forma comum de obter esse resultado é aproveitar a simetria dividindo a região em 8 octantes iguais e calcular o volume em um octante (onde x,y,z\ge0) e multiplicar por 8; nesse octante as restrições viram x^{2}+y^{2}\le r^{2} e y^{2}+z^{2}\le r^{2} e pode-se integrar facilmente usando as mesmas ideias. Escolhi a integração por fatias em y porque as desigualdades ficaram particularmente simples e a conta ficou curta — técnica útil para usar na prova quando há termos quadráticos repetidos numa coordenada. Força que tá indo bem!

Resposta

\dfrac{16}{3}r^{3}

Exercícios relacionados