Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide elíptico
e acima do retângulo
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A superfície
. - O retângulo
no plano .
A pergunta é: determinar o volume do sólido que fica abaixo da superfície dada e cujo apoio no planoé exatamente o retângulo .
Informações relevantes fornecidas: - As coordenadas dos limites:
varia de a e varia de a . - A função de altura (a superfície) é
.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando um sólido tem projeção vertical no plano igual a uma região
e sua altura em cada ponto
é dada por uma função contínua
, o volume do sólido é dado pela integral dupla
Quando um sólido tem projeção vertical no plano
Aqui
é o elemento de área no plano
(pense em pequenas áreas retangulares de lados
e
). A integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (teorema de Fubini), por exemplo
desde que
seja contínua em
(o que é o caso desta função polinomial).
No nosso problema . Então o volume será
No nosso problema
Passo 3
Simplificação usando linearidade da integral.
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Assim
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Assim
Como cada termo é separável (um depende só de
, outro só de
, outro é constante), podemos escrever:
Passo 4
Cálculo de cada uma das integrais parciais (explicando antiderivadas).
- Calcular
.
A antiderivada deé . Logo
Então
E
. Portanto
- Calcular
.
A antiderivada deé . Assim
E
. Então
Note que no somatório original essa parcela aparece com sinal negativo, então contribui com
.
- Calcular
.
A área deé . Assim
Passo 5
Somar as contribuições para obter o volume final.
Juntando os três resultados:
Juntando os três resultados:
Somando
, obtemos