Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide elíptico z=3 y^{2}-x^{2}+2 e acima do retângulo R=\{(x, y) ;-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A superfície z=3y^{2}-x^{2}+2.
  • O retângulo R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\;-2\le y\le 2\} no plano xy.
    A pergunta é: determinar o volume do sólido que fica abaixo da superfície dada e cujo apoio no plano xy é exatamente o retângulo R.
    Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas dos limites: x varia de -1 a 1 e y varia de -2 a 2.
  • A função de altura (a superfície) é 3y^{2}-x^{2}+2.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando um sólido tem projeção vertical no plano xy igual a uma região R e sua altura em cada ponto (x,y)\in R é dada por uma função contínua f(x,y), o volume do sólido é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy (pense em pequenas áreas retangulares de lados dx e dy). A integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (teorema de Fubini), por exemplo
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-2}^{2} f(x,y)\,dy\,dx,
desde que f seja contínua em R (o que é o caso desta função polinomial).
No nosso problema f(x,y)=3y^{2}-x^{2}+2. Então o volume será
V=\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-2}^{2} \big(3y^{2}-x^{2}+2\big)\,dy\,dx.

Passo 3

Simplificação usando linearidade da integral.
A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Assim
V=\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-2}^{2} 3y^{2}\,dy\,dx -\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-2}^{2} x^{2}\,dy\,dx +\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-2}^{2} 2\,dy\,dx.
Como cada termo é separável (um depende só de y, outro só de x, outro é constante), podemos escrever:
\iint_{R}3y^{2}\,dA = 3\left(\int_{x=-1}^{1}dx\right)\left(\int_{y=-2}^{2}y^{2}\,dy\right),
\iint_{R}x^{2}\,dA = \left(\int_{x=-1}^{1}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{y=-2}^{2}dy\right),
\iint_{R}2\,dA = 2\cdot \text{Area}(R) = 2\left(\int_{x=-1}^{1}dx\right)\left(\int_{y=-2}^{2}dy\right).

Passo 4

Cálculo de cada uma das integrais parciais (explicando antiderivadas).
  1. Calcular \displaystyle \int_{y=-2}^{2} y^{2}\,dy.
    A antiderivada de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Logo
\int_{y=-2}^{2} y^{2}\,dy = \left[\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{(-2)^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{16}{3}.
Então
\iint_{R}3y^{2}\,dA = 3\cdot\left(\int_{x=-1}^{1}dx\right)\cdot\dfrac{16}{3} = \left(\int_{x=-1}^{1}dx\right)\cdot 16.
E \displaystyle \int_{x=-1}^{1}dx = 2. Portanto
\iint_{R}3y^{2}\,dA = 2\cdot 16 = 32.
  1. Calcular \displaystyle \int_{x=-1}^{1} x^{2}\,dx.
    A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Assim
\int_{x=-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}.
E \displaystyle \int_{y=-2}^{2} dy = 4. Então
\iint_{R} x^{2}\,dA = \dfrac{2}{3}\cdot 4 = \dfrac{8}{3}.
Note que no somatório original essa parcela aparece com sinal negativo, então contribui com -\dfrac{8}{3}.
  1. Calcular \displaystyle \iint_{R} 2\,dA.
    A área de R é (1-(-1))\cdot(2-(-2))=2\cdot 4=8. Assim
\iint_{R} 2\,dA = 2\cdot 8 = 16.

Passo 5

Somar as contribuições para obter o volume final.
Juntando os três resultados:
V = \iint_{R}3y^{2}\,dA - \iint_{R}x^{2}\,dA + \iint_{R}2\,dA = 32 - \dfrac{8}{3} + 16.
Somando 32+16=48, obtemos
V = 48 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{144}{3}-\dfrac{8}{3} = \dfrac{136}{3}.

Resposta

\dfrac{136}{3}

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