A região \Omega é descrita por x variando de 1 até e e, para cada x, y variando de 0 até \ln x.
A função a integrar é y^{3}.
O que se pede: o valor numérico exato da integral dupla \iint_{\Omega} y^{3}\,dA.
Passo 2
Escolha da ordem de integração e justificativa (passo conceitual).
A região já está dada no formato "para cada x em [1,e], y vai de 0 até \ln x". Isso sugere naturalmente escrever a integral como integral iterada com integração em y primeiro e em x depois.
Aqui escolhemos sistematicamente a(u)=u^{n} (deriva até zero depois de n passos) e b'(u)=e^{u} (antiderivado simples b(u)=e^{u}). Vamos aplicar repetidas vezes para reduzir o expoente de u.
Passo 6
Aplicando integração por partes passo a passo.
Defina
I_n=\int_{0}^{1} u^{n}e^{u}\,du.
Queremos I_4. Usando integração por partes com a(u)=u^{n} e b'(u)=e^{u}:
I_n=\left.u^{n}e^{u}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1} n u^{n-1}e^{u}\,du = e - n I_{n-1},
pois \left.u^{n}e^{u}\right|_{0}^{1}=1^{n}e^{1}-0= e.
Agora aplicamos recursivamente:
Para n=1:
I_1 = e - 1\cdot I_0.
Mas I_0=\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left.e^{u}\right|_{0}^{1}=e-1.
Logo
I_1 = e - (e-1)=1.
Para n=2:
I_2 = e - 2 I_1 = e - 2\cdot 1 = e-2.
Para n=3:
I_3 = e - 3 I_2 = e - 3(e-2) = e -3e +6 = -2e +6.
Para n=4:
I_4 = e - 4 I_3 = e - 4(-2e +6) = e +8e -24 = 9e -24.
Portanto
\int_{0}^{1} u^{4}e^{u}\,du = I_4 = 9e - 24.
Passo 7
Voltar à integral original e obter o resultado final.