Calcule a integral dupla
\iint_{\Omega} y^{3} d A, \Omega=\{(x, y) ; 1 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq \ln x\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA, \qquad \Omega=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\;0\le y\le \ln x\}.
Informações dadas:
  • A região \Omega é descrita por x variando de 1 até e e, para cada x, y variando de 0 até \ln x.
  • A função a integrar é y^{3}.
    O que se pede: o valor numérico exato da integral dupla \iint_{\Omega} y^{3}\,dA.

Passo 2

Escolha da ordem de integração e justificativa (passo conceitual).
  • A região já está dada no formato "para cada x em [1,e], y vai de 0 até \ln x". Isso sugere naturalmente escrever a integral como integral iterada com integração em y primeiro e em x depois.
  • Escrever a integral iterada:
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \int_{x=1}^{e}\left(\int_{y=0}^{\ln x} y^{3}\,dy\right)dx.
Comentário rápido e amigo: é mais simples integrar y^{3} em y do que tentar inverter a ordem aqui — então vamos integrar primeiro em y.

Passo 3

Integrando em y (regra da potência).
  • Lembrete da regra: para integrar \,y^{n} em y (com n\neq -1), o antiderivado é \dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui n=3.
  • Assim um antiderivado de y^{3} é \dfrac{y^{4}}{4}.
  • Avaliando de y=0 até y=\ln x:
\int_{0}^{\ln x} y^{3}\,dy = \left.\dfrac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{\ln x} = \dfrac{(\ln x)^{4}}{4}-0 = \dfrac{(\ln x)^{4}}{4}.
Portanto a integral dupla vira a integral simples
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \int_{1}^{e} \dfrac{(\ln x)^{4}}{4}\,dx = \dfrac{1}{4}\int_{1}^{e} (\ln x)^{4}\,dx.

Passo 4

Transformação por substituição para simplificar \int_{1}^{e}(\ln x)^{4}\,dx.
  • Vamos usar a substituição comum u=\ln x. Explicando: isso transforma a parte (\ln x)^{4} num polinômio em u, e relaciona dx a du.
  • Se u=\ln x, então x=e^{u} e dx = e^{u}\,du.
  • Os limites mudam: quando x=1 tem u=\ln 1=0; quando x=e tem u=\ln e=1.
  • Substituindo:
\int_{1}^{e} (\ln x)^{4}\,dx = \int_{u=0}^{1} u^{4}\,e^{u}\,du.
Logo a integral original é
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{1} u^{4}e^{u}\,du.

Passo 5

Como calcular \int_{0}^{1} u^{4}e^{u}\,du: ideia e técnica.
  • Produto de polinômio por exponencial pede integração por partes repetida.
  • Regra de integração por partes (lembrando): para duas funções a(u) e b'(u),
\int a(u)b'(u)\,du = a(u)b(u) - \int a'(u)b(u)\,du,
onde b(u) é antiderivado de b'(u).
  • Aqui escolhemos sistematicamente a(u)=u^{n} (deriva até zero depois de n passos) e b'(u)=e^{u} (antiderivado simples b(u)=e^{u}). Vamos aplicar repetidas vezes para reduzir o expoente de u.

Passo 6

Aplicando integração por partes passo a passo.
Defina
I_n=\int_{0}^{1} u^{n}e^{u}\,du.
Queremos I_4. Usando integração por partes com a(u)=u^{n} e b'(u)=e^{u}:
I_n=\left.u^{n}e^{u}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1} n u^{n-1}e^{u}\,du = e - n I_{n-1},
pois \left.u^{n}e^{u}\right|_{0}^{1}=1^{n}e^{1}-0= e.
Agora aplicamos recursivamente:
  • Para n=1:
I_1 = e - 1\cdot I_0.
Mas I_0=\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left.e^{u}\right|_{0}^{1}=e-1.
Logo
I_1 = e - (e-1)=1.
  • Para n=2:
I_2 = e - 2 I_1 = e - 2\cdot 1 = e-2.
  • Para n=3:
I_3 = e - 3 I_2 = e - 3(e-2) = e -3e +6 = -2e +6.
  • Para n=4:
I_4 = e - 4 I_3 = e - 4(-2e +6) = e +8e -24 = 9e -24.
Portanto
\int_{0}^{1} u^{4}e^{u}\,du = I_4 = 9e - 24.

Passo 7

Voltar à integral original e obter o resultado final.
  • Lembrando que
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{1} u^{4}e^{u}\,du,
substituindo o valor encontrado:
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \dfrac{1}{4}\,(9e-24).
Podemos deixar a resposta nessa forma exata ou factorizar 3 se preferir:
\iint_{\Omega} y^{3}\,dA = \dfrac{9e-24}{4}.

Resposta

\dfrac{9e-24}{4}

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