Calcule a integral dupla colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{\Omega} e^{-x^{2}-y^{2}} d A onde \Omega é a região limitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo O y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{\Omega} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA.
  • A região \Omega é limitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e pelo eixo Oy.
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • A equação x=\sqrt{4-y^{2}} é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=4, ou seja, raio 2 e centro na origem, com x\ge0.
    • Logo \Omega é o semicírculo direito (meio disco) de raio 2: todos os pontos com 0\le r\le 2 e com ângulos correspondentes ao semiplano x\ge0.
  • Objetivo final: calcular numericamente o valor da integral sobre esse meio disco.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e a transformação básica.
  • Observação chave: a função integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares isso vira uma função simples de r. Isso geralmente simplifica muito integrais sobre regiões circulares.
  • Em coordenadas polares definimos: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área dA transforma-se em dA = r\,dr\,d\theta.Explicação curta do porquê: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
  • Aqui: r é a variável radial, \theta é a variável angular, e o fator r é o jacobiano da transformação.

Passo 3

Determinar os limites de integração em coordenadas polares.
  • A fronteira externa é o círculo de raio 2, portanto r vai de 0 até 2: 0\le r\le 2.
  • O semicírculo direito tem \,x\ge0. Em termos de \theta, isso corresponde a ângulos entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} (do eixo positivo x passando pelo eixo y negativo até o eixo y positivo). -\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
  • Portanto os limites são r\in[0,2] e \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, obtemos a integral equivalente: \iint_{\Omega} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
  • Notar que a integranda separa em função de r vezes 1 em \theta, então será fácil integrar em \theta depois de resolver a parte em r.

Passo 5

Calcular a integral interna em r usando substituição.
  • Fazer a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 tem u=0; quando r=2 tem u=4.
  • Logo \int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{u=0}^{4} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr).

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta e obter o resultado final.
  • A integral completa torna-se \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr)\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta.
  • O comprimento do intervalo de \theta é \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta = \pi.
  • Portanto o valor da integral é \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr)\cdot \pi = \frac{\pi}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr)

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