Calcule a integral dupla colocando-a em coordenadas polares.
onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A região
é limitada pelo semicírculo e pelo eixo . - Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação
é a metade direita do círculo , ou seja, raio e centro na origem, com . - Logo
é o semicírculo direito (meio disco) de raio : todos os pontos com e com ângulos correspondentes ao semiplano .
- A equação
- Objetivo final: calcular numericamente o valor da integral sobre esse meio disco.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e a transformação básica.
- Observação chave: a função integranda depende apenas de
. Em coordenadas polares isso vira uma função simples de . Isso geralmente simplifica muito integrais sobre regiões circulares. - Em coordenadas polares definimos:
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - O elemento de área
transforma-se em Explicação curta do porquê: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área é . - Aqui:
é a variável radial, é a variável angular, e o fator é o jacobiano da transformação.
Passo 3
Determinar os limites de integração em coordenadas polares.
- A fronteira externa é o círculo de raio
, portanto vai de até : - O semicírculo direito tem
. Em termos de , isso corresponde a ângulos entre e (do eixo positivo passando pelo eixo negativo até o eixo positivo). - Portanto os limites são
e .
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares.
- Substituindo
e , obtemos a integral equivalente: - Notar que a integranda separa em função de
vezes em , então será fácil integrar em depois de resolver a parte em .
Passo 5
Calcular a integral interna em
usando substituição.
- Fazer a substituição
. Então , isto é . - Quando
tem ; quando tem . - Logo
Passo 6
Calcular a integral externa em
e obter o resultado final.
- A integral completa torna-se
- O comprimento do intervalo de
é - Portanto o valor da integral é