Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi / 2} x \operatorname{sen} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin y \,dy\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais iteradas usando a propriedade de que podemos tratar x como constante ao integrar em y e depois calcular a integral em x.

Passo 2

Vamos primeiro avaliar a integral interna em y:
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin y \,dy = x \int_{0}^{\pi/2} \sin y \,dy = x\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/2} = x\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2}) + \cos(0)\bigr) = x\bigl(0 + 1\bigr) = x.

Passo 3

Agora a integral externa em x fica
\int_{0}^{2} x \,dx =\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-0 =2.

Resposta

2

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