Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sqrt{s+t} d s d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{s+t}\,ds\,dt.
O conteúdo aqui é integração em ordem ds primeiro e depois dt, usando substituição para simplificar a raiz.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em s:
\int_{0}^{1}\sqrt{s+t}\,ds.
Fazemos a mudança de variável \,u=s+t, então du=ds. Quando s=0, temos u=t. Quando s=1, temos u=t+1. A integral fica
\int_{u=t}^{u=t+1}\sqrt{u}\,du = \int_{t}^{t+1}u^{\tfrac12}\,du = \left[\frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}\right]_{t}^{\,t+1} = \frac{2}{3}\bigl((t+1)^{\tfrac{3}{2}}-t^{\tfrac{3}{2}}\bigr).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa em t, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{2}{3}\bigl((t+1)^{\tfrac{3}{2}}-t^{\tfrac{3}{2}}\bigr)dt = \frac{2}{3}\Bigl(\int_{0}^{1}(t+1)^{\tfrac{3}{2}}dt - \int_{0}^{1}t^{\tfrac{3}{2}}dt\Bigr).

Passo 4

Calculamos cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}t^{\tfrac{3}{2}}dt,
\int_{0}^{1}t^{\tfrac{3}{2}}dt = \left[\frac{2}{5}t^{\tfrac{5}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}(t+1)^{\tfrac{3}{2}}dt, fazemos a mudança u=t+1, variando de u=1 a u=2:
\int_{1}^{2}u^{\tfrac{3}{2}}du = \left[\frac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{5}\bigl(2^{\tfrac{5}{2}}-1\bigr).

Passo 5

Agora voltamos à expressão em t:
\frac{2}{3}\Bigl(\frac{2}{5}(2^{\tfrac{5}{2}}-1)-\frac{2}{5}\Bigr) = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\bigl(2^{\tfrac{5}{2}}-1-1\bigr) = \frac{4}{15}\bigl(2^{\tfrac{5}{2}}-2\bigr).
Como 2^{\tfrac{5}{2}}=2\cdot2^{\tfrac{3}{2}}=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}, temos
2^{\tfrac{5}{2}}-2 = 4\sqrt{2}-2 = 2\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr),
logo
\frac{4}{15}\bigl(2^{\tfrac{5}{2}}-2\bigr) = \frac{4}{15}\cdot2\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) = \frac{8}{15}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\frac{8}{15}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Exercícios relacionados