Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt{4-x^{2}}\,dx.
Informações relevantes que já temos:
  • A função sob a raiz é 4-x^{2}. Para valores reais, isso exige -2\le x\le 2, então a primitiva que vamos encontrar valerá (pelo menos) nesse intervalo e pode ser estendida por continuidade fora dele.
  • A expressão \sqrt{a^{2}-x^{2}} sugere fortemente usar uma substituição trigonométrica padrão (não precisa decidir ainda qual — só observar que essa família de integrais costuma simplificar muito com trig).

Passo 2

Por que usar substituição trigonométrica e qual escolher?
  • Para expressões do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} a substituição padrão é
x = a\sin\theta,
porque então a^{2}-x^{2}=a^{2}(1-\sin^{2}\theta)=a^{2}\cos^{2}\theta, que simplifica ao termo trigonométrico \cos\theta.
  • Aqui a=2. Então escolhemos
x = 2\sin\theta.
Agora explico tudo o que isso implica:
  • Diferencial: \,dx = 2\cos\theta\,d\theta.
  • A raiz fica
\sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=\sqrt{4\cos^{2}\theta}=2|\cos\theta|.
Para evitar o valor absoluto e fazer a raiz positiva (coerente com \sqrt{\cdot}), restringimos \theta ao intervalo -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}, onde \cos\theta\ge0. Nessa faixa temos \sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta. Também note que, com x=2\sin\theta, o \theta correspondente é \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 3

Aplicando a substituição na integral:
  • Substituir \sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta e dx=2\cos\theta\,d\theta
\int \sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int (2\cos\theta)\cdot(2\cos\theta\,d\theta)=\int 4\cos^{2}\theta\,d\theta.
Então a integral reduziu-se a uma integral trigonométrica simples: \int 4\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar 4\cos^{2}\theta:
  • Usamos a identidade de redução para \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
  • Substituindo,
\int 4\cos^{2}\theta\,d\theta = 4\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = 2\int(1+\cos 2\theta)\,d\theta.
  • Integramos termo a termo:
2\int(1+\cos 2\theta)\,d\theta = 2\left(\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C = 2\theta + \sin 2\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x:
  • Primeiro escrevemos \sin 2\theta em termos de \sin\theta e \cos\theta:
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
  • Como x=2\sin\theta, temos \sin\theta=\dfrac{x}{2}. E como \cos\theta=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} (veio da relação pitagórica \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}), resulta
\sin 2\theta = 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}=\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}.
  • Também \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Substituindo essas expressões em 2\theta+\sin 2\theta+C obtemos
2\theta+\sin 2\theta + C = 2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C.
Essa é a primitiva na variável x.

Passo 6

Verificação rápida (útil para prova): derivando o resultado volta-se à integranda.
  • Derivando F(x)=2\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} obtém-se, passo a passo, \dfrac{dF}{dx}=\sqrt{4-x^{2}}. Isso confirma que a antiderivada está correta (omitindo aqui os detalhes algébricos da verificação, mas dá para checar usando regra da cadeia e produto).

Resposta

2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}+C

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