Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \sqrt{4-x^{2}} d x
\int \sqrt{4-x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes que já temos:
- A função sob a raiz é
. Para valores reais, isso exige , então a primitiva que vamos encontrar valerá (pelo menos) nesse intervalo e pode ser estendida por continuidade fora dele. - A expressão
sugere fortemente usar uma substituição trigonométrica padrão (não precisa decidir ainda qual — só observar que essa família de integrais costuma simplificar muito com trig).
Passo 2
Por que usar substituição trigonométrica e qual escolher?
- Para expressões do tipo
a substituição padrão é
porque então
, que simplifica ao termo trigonométrico
.
- Aqui
. Então escolhemos
Agora explico tudo o que isso implica:
- Diferencial:
. - A raiz fica
Para evitar o valor absoluto e fazer a raiz positiva (coerente com
), restringimos
ao intervalo
, onde
. Nessa faixa temos
. Também note que, com
, o
correspondente é
.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral:
- Substituir
e dá
Então a integral reduziu-se a uma integral trigonométrica simples:
.
Passo 4
Integrar
:
- Usamos a identidade de redução para
:
- Substituindo,
- Integramos termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
:
- Primeiro escrevemos
em termos de e :
- Como
, temos . E como (veio da relação pitagórica ), resulta
- Também
. Substituindo essas expressões em obtemos
Essa é a primitiva na variável
.
Passo 6
Verificação rápida (útil para prova): derivando o resultado volta-se à integranda.
- Derivando
obtém-se, passo a passo, . Isso confirma que a antiderivada está correta (omitindo aqui os detalhes algébricos da verificação, mas dá para checar usando regra da cadeia e produto).