Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\sqrt{x{2}-1}}{x{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função integranda é \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}.
A presença de \sqrt{x^{2}-1} indica que esta expressão é real quando |x|\ge 1. Logo a solução vale para x\le -1 ou x\ge 1.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}.
Passo 2
Motivação da substituição trigonométrica escolhida (pequena aula):
Quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} costuma-se usar a substituição x=a\operatorname{sec}\theta porque entãox^{2}-a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta-a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta,e \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta. Isso simplifica a raiz e transforma a integral em funções trigonométricas.
No nosso caso a=1, então a substituição natural éx=\operatorname{sec}\theta.
Observação de domínio: x=\operatorname{sec}\theta implica |x|\ge 1, compatível com a condição da raiz. Para fixar ideias podemos trabalhar com \theta tal que \operatorname{sec}\theta>0 (ou tratar o valor absoluto depois).
Passo 3
Aplicando a substituição e calculando os elementos necessários:
Substituir tudo na integral (passo a passo, sem pular etapas):
A integranda original é \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx.
Substituindo os termos obtidos:\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx =\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
Simplificando fator a fator:\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta =\frac{\operatorname{sec}\theta\;\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta} =\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}.
Como 1/\operatorname{sec}\theta=\cos\theta, isso dá\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}=\tan^{2}\theta\cos\theta.
Passo 5
Transformar a expressão trigonométrica para facilitar a integração:
Outra identidade útil é \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta. Assim\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{1-\cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta-\cos\theta.
Portanto a integral em \theta fica\int\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx=\int\bigl(\operatorname{sec}\theta-\cos\theta\bigr)\,d\theta.
Passo 6
Integrar cada termo trigonométrico (lembrando das fórmulas básicas):
Fórmula padrão: \displaystyle\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C. (Esta é uma integral bem conhecida; pode ser obtida multiplicando por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e fazendo substituição.)
Aplicando:\int\bigl(\operatorname{sec}\theta-\cos\theta\bigr)\,d\theta =\int\operatorname{sec}\theta\,d\theta-\int\cos\theta\,d\theta =\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|-\sin\theta + C.
Passo 7
Voltar para a variável x usando as relações entre \theta e x:
Lembrando que x=\operatorname{sec}\theta, então \operatorname{sec}\theta=x.
Também \tan\theta=\sqrt{x^{2}-1} (peguei esse dado da substituição feita no Passo 3).
E \sin\theta pode ser escrito em termos de x usando \sin\theta=\dfrac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}. Portanto\sin\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Substituindo essas expressões na primitiva obtida:\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|-\sin\theta + C =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C.
Passo 8
Comentário final sobre domínio e constantes:
A primitiva encontrada é válida para |x|\ge 1 (região onde a raiz é real e a substituição x=\operatorname{sec}\theta faz sentido).
Usar o valor absoluto em \ln é importante para incluir o caso x\le -1.
Assim a antiderivada geral éF(x)=\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C.