Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\sqrt{x{2}-1}}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}.
  • A presença de \sqrt{x^{2}-1} indica que esta expressão é real quando |x|\ge 1. Logo a solução vale para x\le -1 ou x\ge 1.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}.

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica escolhida (pequena aula):
  • Quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} costuma-se usar a substituição x=a\operatorname{sec}\theta porque então x^{2}-a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta-a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta,e \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta. Isso simplifica a raiz e transforma a integral em funções trigonométricas.
  • No nosso caso a=1, então a substituição natural é x=\operatorname{sec}\theta.
  • Observação de domínio: x=\operatorname{sec}\theta implica |x|\ge 1, compatível com a condição da raiz. Para fixar ideias podemos trabalhar com \theta tal que \operatorname{sec}\theta>0 (ou tratar o valor absoluto depois).

Passo 3

Aplicando a substituição e calculando os elementos necessários:
  • Substituição: x=\operatorname{sec}\theta.
  • Então \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\tan\theta.
  • Derivada: dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Também x^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 4

Substituir tudo na integral (passo a passo, sem pular etapas):
  • A integranda original é \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx.
  • Substituindo os termos obtidos: \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx =\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
  • Simplificando fator a fator: \frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta =\frac{\operatorname{sec}\theta\;\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta} =\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}.
  • Como 1/\operatorname{sec}\theta=\cos\theta, isso dá \frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}=\tan^{2}\theta\cos\theta.

Passo 5

Transformar a expressão trigonométrica para facilitar a integração:
  • Usar \tan^{2}\theta=\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}. Então \tan^{2}\theta\cos\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\cos\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}.
  • Outra identidade útil é \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta. Assim \frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{1-\cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta-\cos\theta.
  • Portanto a integral em \theta fica \int\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\,dx=\int\bigl(\operatorname{sec}\theta-\cos\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Integrar cada termo trigonométrico (lembrando das fórmulas básicas):
  • Fórmula padrão: \displaystyle\int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta+C.
  • Fórmula padrão: \displaystyle\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C. (Esta é uma integral bem conhecida; pode ser obtida multiplicando por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e fazendo substituição.)
  • Aplicando: \int\bigl(\operatorname{sec}\theta-\cos\theta\bigr)\,d\theta =\int\operatorname{sec}\theta\,d\theta-\int\cos\theta\,d\theta =\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|-\sin\theta + C.

Passo 7

Voltar para a variável x usando as relações entre \theta e x:
  • Lembrando que x=\operatorname{sec}\theta, então \operatorname{sec}\theta=x.
  • Também \tan\theta=\sqrt{x^{2}-1} (peguei esse dado da substituição feita no Passo 3).
  • E \sin\theta pode ser escrito em termos de x usando \sin\theta=\dfrac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}. Portanto \sin\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
  • Substituindo essas expressões na primitiva obtida: \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|-\sin\theta + C =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C.

Passo 8

Comentário final sobre domínio e constantes:
  • A primitiva encontrada é válida para |x|\ge 1 (região onde a raiz é real e a substituição x=\operatorname{sec}\theta faz sentido).
  • Usar o valor absoluto em \ln é importante para incluir o caso x\le -1.
  • Assim a antiderivada geral é F(x)=\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C

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