Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x d A; R é a região compreendida por y=\operatorname{sen}^{-1} x, x=\frac{1}{\sqrt{2}} e y=0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular , onde é a região no plano limitada por ,
e .\nO conteúdo aqui é a definição de integral dupla como integral iterada, integrando primeiro em e depois em .
Passo 2
Para montar a integral iterada note que, para cada em , temos variando de até .
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Passo 3
Integramos em primeiro:
Portanto a integral reduz-se a
integral0^1/raiz2xarcsin x,dx
Passo 4
Para calcular integral0^1/raiz2xarcsin x,dx usamos integração por partes com
u=arcsin x, dv=x,dx
Então
du=dxraiz1-x^2, v=x^22,
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integral xarcsin x,dx =x^22arcsin x-12integralx^2raiz1-x^2,dx
Avaliando o termo de borda de 0 a 1/raiz2 dá
x^22arcsin xm|0^1/raiz2 =1/22cdotpi4 =pi16
Chamando
J=integral0^1/raiz2x^2raiz1-x^2,dx,
temos
integral duplaRx,dA =pi16-12,J
Passo 5
Para achar J escrevemos x^2=1-(1-x^2) e separamos em duas integrais: