Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x d A; R é a região compreendida por y=\operatorname{sen}^{-1} x, x=\frac{1}{\sqrt{2}} e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaRx,dA, onde R é a região no plano limitada por
,y=0,
,y=arcsin x
e
,x=tfrac1raiz2.\nO conteúdo aqui é a definição de integral dupla como integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para montar a integral iterada note que, para cada x em [0,1/raiz2], temos y variando de 0 até arcsin x.
Logo
integral duplaRx,dA =integralx=0^1/raiz2l(integraly=0^arcsin xx,dyr)dx

Passo 3

Integramos em y primeiro:
integral0^arcsin xx,dy =x,ym|0^arcsin x =xarcsin x
Portanto a integral reduz-se a
integral0^1/raiz2xarcsin x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1/raiz2xarcsin x,dx usamos integração por partes com
u=arcsin x, dv=x,dx
Então
du=dxraiz1-x^2, v=x^22,
logo
integral xarcsin x,dx =x^22arcsin x-12integralx^2raiz1-x^2,dx
Avaliando o termo de borda de 0 a 1/raiz2
x^22arcsin xm|0^1/raiz2 =1/22cdotpi4 =pi16
Chamando
J=integral0^1/raiz2x^2raiz1-x^2,dx,
temos
integral duplaRx,dA =pi16-12,J

Passo 5

Para achar J escrevemos x^2=1-(1-x^2) e separamos em duas integrais:
J =integral0^1/raiz2dxraiz1-x^2 -integral0^1/raiz2raiz1-x^2,dx
A primeira integral é
arcsin x|0^1/raiz2=pi/4.
A segunda usa a primitiva
integralraiz1-x^2,dx =x2raiz1-x^2+12arcsin x,
avaliada de 0 a 1/raiz2, o que dá
14+pi8
Logo
J=pi4-l(14+pi8r) =pi8-14
Substituindo em I=pi16-tfrac12J resulta
I =pi16-12l(pi8-14r) =18

Resposta

A integral dupla vale 18.

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