Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=2 x1-x2 x2^prime=3 x1-2 x2\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de ODEs lineares
x1' = 2x1 - x2, x2' = 3x1 - 2x2,
logo podemos escrevê-lo em forma matricial como x' = Ax. Aqui o conteúdo é solução de sistemas lineares autônomos usando autovalores e autovetores. Para resolver, vamos:
  1. Determinar o polinômio característico de A;
  2. Encontrar os autovalores lambda;
  3. Obter os autovetores associados;
  4. Escrever a solução geral como combinação linear de e^lambda t vezes cada autovetor.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 2 & -1 3 & -2
e montamos o polinômio característico por det(A - lambda I) = 0.

Passo 3

Calculando
det(A - lambda I) = det! 2-lambda & -1 3 & -2-lambda = (2-lambda)(-2-lambda) -(-1)cdot 3 = lambda^2 -1,
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lambda^2 -1 = 0 Longrightarrow lambda = 1,,-1

Passo 4

Para resolvemos :
Um autovetor é .
Para resolvemos :
Um autovetor é .

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^lambda tv, isto é,
x(t) = C1e^t11 + C2e^-t13,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

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