Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=2 x1-2 x2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com coeficientes constantes \r
\r
A ideia é escrever isso na forma matricial \r
\r
onde \r
\r
Para resolver, vamos achar os autovalores e autovetores de e montar a combinação linear das soluções elementares.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de impondo \r
\r
Escrevendo \r
\r
temos \r
]

Passo 3

Expandindo o determinante obtemos \r
\r
Logo o polinômio característico é \r
\r
cuja solução é \r
\r
de onde \r
e .

Passo 4

Para lambda1=2 resolvemos \r
(A - 2I)v = 0 ;Longrightarrow; 1 & -2 [4pt] 2 & -4 v1[2pt]v2 = 0, \r
que dá v1-2v2=0, então um autovetor é \r
v^(1) = 2[3pt]1 \r
Para lambda2=-1 resolvemos \r
(A + I)v = 0 ;Longrightarrow; 4 & -2 [4pt] 2 & -1 v1[2pt]v2 = 0, \r
que dá 4v1-2v2=0, então um autovetor é \r
v^(2) = 1[3pt]2 ]

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções elementares
x(t) = C1,e^lambda1t,v^(1) + C2,e^lambda2t,v^(2)
Substituindo
x(t) = C1,e^2t 2[3pt]1 + C2,e^-t 1[3pt]2
Em componentes,
x1(t) = 2C1e^2t + C2e^-t, x2(t) = C1e^2t + 2C2e^-t ]

Resposta

A solução geral é
boxed x(t) = C1e^2t2[3pt]1 + C2e^-t1[3pt]2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.]

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