Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=3 x1+6 x2 x2^prime=-x1-2 x2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
x1' = 3,x1+6,x2, x2' = -,x1-2,x2,
ou seja, x' = Ax com
A = 3 & 6 -1 & -2
O conteúdo aqui é resolução de sistemas de EDOs lineares usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det3-lambda & 6 -1 & -2-lambda = (3-lambda)(-2-lambda) - (6)(-1)
Expandindo,
(3-lambda)(-2-lambda) = lambda^2 - lambda - 6,
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det(A - lambda I) = (lambda^2 - lambda - 6) + 6 = lambda^2 - lambda

Passo 3

Resolvendo lambda^2 - lambda = 0 obtemos as raízes
lambda(lambda - 1) = 0 Longrightarrow lambda1 = 0, lambda2 = 1

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para , resolvemos :
Tomando , um autovetor é
Para , resolvemos :
Tomando , um autovetor é

Passo 5

A solução geral de x'=Ax é combinação linear dos modos e^lambda tv. Logo
x(t) = C1,e^0cdot t,v^(1) + C2,e^1cdot t,v^(2) = C1-21 + C2e^t-31,
onde C1,C2 são constantes arbítrárias.

Resposta

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