Calcule a integral dupla.
\iint_{R}(x-1) d A ; R é a região do primeiro quadrante compreendida entre y=x e y=x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(x-1),dA
onde R está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas y=x^3 e y=x. O que vamos usar aqui é a técnica de integrar iteradamente: primeiro em y (pois o integrando não depende de y), depois em x.

Passo 2

Precisamos achar onde as duas curvas se intersectam em x>=0. Resolvendo
x^3 = x
temos
x(x^2-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
Logo x varia de 0 a 1.

Passo 3

Para cada xin[0,1], o y varia de y=x^3 (curva de baixo) até y=x (curva de cima). Assim montamos
integral duplaR(x-1),dA = integralx=0^1 l[integraly=x^3^y=x(x-1),dyr]dx

Passo 4

Como (x-1) é constante em relação a y, a integral interna fica
integraly=x^3^y=x(x-1),dy =(x-1)l(y|y=x^3^y=xr) =(x-1)l(x - x^3r)
Substituindo na integral em x, obtemos
integral0^1(x-1)(x - x^3),dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(x-1)(x-x^3) = -x^4 + x^3 + x^2 - x
Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(-x^4 + x^3 + x^2 - x),dx = l[-tfracx^55 + tfracx^44 + tfracx^33 - tfracx^22r]0^1 = -tfrac15 + tfrac14 + tfrac13 - tfrac12 = -tfrac760

Resposta

-tfrac760

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