Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=-x1-4 x2 x2^prime=x1-x2\right.

Passo 1

O sistema dado é
x1'=-x1-4x2, x2'=x1-x2,
que em forma matricial é x' = A x com
A = -1 & -4[6pt]1 & -1
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear com coeficientes constantes, usando autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det-1-lambda & -4[4pt]1 & -1-lambda =( -1-lambda )^2 +4
Logo,
( -1-lambda )^2 +4 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2 +2lambda +5 = 0 ;Longrightarrow; lambda = -1 pm 2i ]

Passo 3

Como os autovalores são complexos conjugados lambda=-1pm2i, tomamos lambda=-1+2i e achamos um autovetor não nulo v resolvendo (A-lambda I)v=0.
Isto dá
(-1 -(-1+2i))v1 -4v2 = -2i,v1 -4v2=0 ;Longrightarrow; v2 = -tfraci2v1
Escolhendo v1=2 obtemos
v = 2[4pt]-i
A solução complexa é
xc(t)=v,e^(-1+2i)t =e^-t 2(cos2t + isin2t)[3pt] ,sin2t - icos2t ]

Passo 4

Separamos parte real e imaginária de xc(t). Definindo
p(t)=e^-t2cos2t[3pt]sin2t, q(t)=e^-t2sin2t[3pt]-cos2t,
a solução geral real é combinação linear
x(t)=C1, p(t)+C2, q(t),
com C1,C2in R.]

Resposta

boxed x(t) = e^-tl[ C12cos2t[3pt]sin2t + C22sin2t[3pt]-cos2t r], C1,C2in R ]

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