Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x^{2} d A; R é a região do primeiro quadrante compreendida entre x y=1, y=x e y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular integral duplaR x^2,dA, em que R é a região do 1º quadrante limitada pelas curvas
xy=1, y=x, y=2x
Para simplificar, adotamos a mudança de variáveis
u = x,y, v = yx,
pois essas fronteiras se tornam retas ou constantes em (u,v).

Passo 2

Em termos de (u,v) as fronteiras são:
xy=1;longrightarrow;u=1, y=x;longrightarrow;v=1, y=2x;longrightarrow;v=2,
e como x,y>=0 obtemos u>=0. Assim a região R em (u,v) fica
0 <= u <= 1, 1 <= v <= 2

Passo 3

Da inversa
x = raizuv, y = raizu,v,
calculamos o Jacobiano:
partial(x,y)partial(u,v) = 12v,
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dA = 12v,du,dv

Passo 4

Em (u,v) o integrando é
x^2 = uv,
portanto
x^2,dA = uv,12v,du,dv = u2,v^2,du,dv
A integral vira
integral duplaRx^2,dA = integralv=1^2!integralu=0^1u2,v^2,du,dv

Passo 5

Primeiro em u:
integral0^1u2,v^2,du = 12,v^2,u^22vert0^1 = 14,v^2
Agora em v:
integral1^214,v^2,dv = 14[-1v]1^2 = 14(-tfrac12 + 1) = 18

Resposta

18

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