Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x^{2} d A; R é a região do primeiro quadrante compreendida entre x y=1, y=x e y=2 x.
\iint_{R} x^{2} d A; R é a região do primeiro quadrante compreendida entre x y=1, y=x e y=2 x.
Passo 1
O enunciado pede calcular
, em que
é a região do 1º quadrante limitada pelas curvas
Para simplificar, adotamos a mudança de variáveis
pois essas fronteiras se tornam retas ou constantes em
.
Passo 2
Em termos de
as fronteiras são:
e como
obtemos
. Assim a região
em
fica
Passo 3
Da inversa
calculamos o Jacobiano:
logo
Passo 4
Em
o integrando é
portanto
A integral vira
Passo 5
Primeiro em
:
Agora em
v :