(2,0) Seja f(x)=ln (e^x+3).
(a) Encontre o domínio de f.
(b) Encontre f^-1(x) e o domínio de f^-1.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=lnl(e^x+3r) e pede:
(a) o domínio de f;
(b) a função inversa f^-1 e o domínio de f^-1.
Aqui vamos usar a definição de domínio de logaritmo (argumento positivo) e o processo de achar função inversa trocando x por y e isolando x.

Passo 2

Para o domínio de f precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
e^x+3>0
Como e^x>0 para todo xinR, temos e^x+3>3>0 para todo x.
Logo o domínio de f é
R

Passo 3

Para achar f^-1 escrevemos
y=lnl(e^x+3r)
e transformamos em equações equivalentes até isolar x:
e^y=e^x+3,
e^x=e^y-3,
x=lnl(e^y-3r)
Portanto
f^-1(y)=lnl(e^y-3r)
Mudando o nome da variável de volta para x,
f^-1(x)=lnl(e^x-3r)

Passo 4

O domínio de f^-1 é o conjunto de x tais que o argumento do ln em f^-1(x) seja positivo:
e^x-3>0 Longrightarrow e^x>3 Longrightarrow x>ln3
Logo o domínio de f^-1 é
(ln3,infty)

Resposta

(a) O domínio de f é R.
(b) A inversa é
f^-1(x)=lnl(e^x-3r),
com domínio (ln3,infty).

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