Calcule a integral dupla.
\iint_{R}(3 x-2 y) d A ; R é a região limitada pelo círculo x{2}+y{2}=1.
\iint_{R}(3 x-2 y) d A ; R é a região limitada pelo círculo x{2}+y{2}=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de raio
centrado na origem, isto é,
. O conteúdo principal aqui é o uso da linearidade da integral dupla e da simetria de funções ímpares sobre domínios simétricos.
Passo 2
Pela linearidade da integral dupla, podemos escrever
Passo 3
A região
é simétrica em relação aos eixos
e
. Como
é função ímpar em
, tem-se
Analogamente,
é ímpar em
, então
Passo 4
Substituindo no resultado do passo 2, obtemos