Calcule a integral dupla.
\iint_{R}(3 x-2 y) d A ; R é a região limitada pelo círculo x{2}+y{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(3x-2y),dA
onde R é o disco de raio 1 centrado na origem, isto é, x^2+y^2<=1. O conteúdo principal aqui é o uso da linearidade da integral dupla e da simetria de funções ímpares sobre domínios simétricos.

Passo 2

Pela linearidade da integral dupla, podemos escrever
integral duplaR(3x-2y),dA =3integral duplaRx,dA ;-;2integral duplaRy,dA

Passo 3

A região R é simétrica em relação aos eixos x e y. Como x é função ímpar em x, tem-se
integral duplaRx,dA = 0
Analogamente, y é ímpar em y, então
integral duplaRy,dA = 0

Passo 4

Substituindo no resultado do passo 2, obtemos
3integral duplaRx,dA ;-;2integral duplaRy,dA =3cdot 0 ;-;2cdot 0 =0

Resposta

0

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