Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x^{2} d A ; R é a região limitada por y=\frac{16}{x}, y=x e x=8.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de x^2 sobre a região R limitada pelas curvas y=tfrac16x, y=x e pela reta vertical x=8. O conteúdo usado será definição de integral dupla por integrais iteradas e análise da região de integração.

Passo 2

Para encontrar onde y=x e y=tfrac16x se intersectam, resolvemos
x = 16x
o que leva a x^2=16 e, no domínio positivo, a x=4. Então o ponto de interseção é (4,4).

Passo 3

Agora precisamos ver qual curva está acima da outra para x entre 4 e 8. Note que em x=4 ambas valem 4, e para x>4 temos x>tfrac16x. Logo, em 4<= x<=8,
tfrac16x <= y <= x

Passo 4

Com isso a integral dupla vira a iterada em x e y:
integralx=4^8integraly=16/x^x x^2 ,dy,dx

Passo 5

Calculando primeiro a integral interna em y:
integraly=16/x^x x^2 ,dy = x^2l[yr]y=16/x^y=x = x^2l(x - tfrac16xr) = x^3 - 16x

Passo 6

Agora integramos em x:
integral4^8l(x^3 - 16xr),dx = l[tfracx^44 - 8x^2r]4^8
Em x=8 isso vale
tfrac8^44 - 8cdot8^2 = 1024 - 512 = 512,
e em x=4 vale
tfrac4^44 - 8cdot4^2 = 64 - 128 = -64
Subtraindo esses resultados:
512 - (-64) = 576

Resposta

576

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