Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x^{2} d A ; R é a região limitada por y=\frac{16}{x}, y=x e x=8.
\iint_{R} x^{2} d A ; R é a região limitada por y=\frac{16}{x}, y=x e x=8.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
. O conteúdo usado será definição de integral dupla por integrais iteradas e análise da região de integração.
Passo 2
Para encontrar onde
e
se intersectam, resolvemos
o que leva a
e, no domínio positivo, a
. Então o ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora precisamos ver qual curva está acima da outra para
entre 4 e 8. Note que em
ambas valem 4, e para
temos
. Logo, em
,
Passo 4
Com isso a integral dupla vira a iterada em
e
:
Passo 5
Calculando primeiro a integral interna em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Em
isso vale
e em
vale
Subtraindo esses resultados: