A partir da identidade Trigonométrica sin ^2 theta+cos ^2 theta=1, demonstre as identidades trigonométricas a seguir:
sec ^2 theta=1+tan ^2 theta.
cos ^2 theta=1+cos 2 theta2

Passo 1

O enunciado parte da identidade fundamental
sin^2theta + cos^2theta = 1
e pede para demonstrar duas outras:
  1. sec^2theta = 1 + tan^2theta
  2. cos^2theta = dfrac1 + cos 2theta2

Passo 2

Para chegar em sec^2theta = 1 + tan^2theta, dividimos a identidade sin^2theta + cos^2theta = 1 por cos^2theta (supondo costhetaneq0). Isso dá
sin^2thetacos^2theta + cos^2thetacos^2theta = 1cos^2theta,
isto é,
tan^2theta + 1 = sec^2theta

Passo 3

Para demonstrar cos^2theta = tfrac1 + cos 2theta2, começamos da definição do cosseno do ângulo duplo:
cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta
Como sin^2theta = 1-cos^2theta, substituímos:
cos 2theta = cos^2theta - (1-cos^2theta) = 2cos^2theta - 1
Isolando cos^2theta, obtemos
2cos^2theta = 1 + cos 2theta Longrightarrow cos^2theta = 1 + cos 2theta2

Resposta

sec^2theta = 1 + tan^2theta
cos^2theta = 1 + cos 2theta2

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