Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x y^{2} d A ; R é a região compreendida por y=1, y=2, x=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,y^2,dA
sobre a região R limitada por y=1, y=2, x=0 e y=x.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas; precisamos descrever R em termos de limites de x e y e aplicar Fubini.

Passo 2

Para visualizar R: as retas y=1 e y=2 delimitam verticalmente, x=0 é o eixo y e y=x é a reta de inclinação 1. Assim, para cada y entre 1 e 2, x varia de 0 até y. Logo
1<= y<=2, 0<= x<= y

Passo 3

Escrevemos a integral iterada trocando a ordem natural ( dx,dy):
integral duplaR x,y^2,dA =integraly=1^2integralx=0^y x,y^2,dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x, tratando y como constante:
integral0^y x,y^2,dx =y^2integral0^y x,dx =y^2[x^22]0^y =y^2,y^22 =y^42

Passo 5

Agora integramos em y:
integral1^2y^42,dy =12integral1^2y^4,dy =12[y^55]1^2 =12l(325-15r) =3110

Resposta

integral duplaRx,y^2,dA=3110

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