Calcule a integral iterada.
\int_{1}^{2} \int_{0}{y{2}} e{\frac{x}{y{2}}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=1^2integralx=0^y^2e^xy^2,dx,dy
O conteúdo principal aqui é integração iterada, em que primeiro a gente resolve a integral interna em x mantendo y fixo, e depois faz a integral em y. Para a integral interna vamos usar a substituição
u = xy^2, dx = y^2,du,
pois isso simplifica o exponencial.

Passo 2

Aplicando a substituição na integral interna
integral0^y^2 e^xy^2,dx,
temos quando x=0 que u=0 e quando x=y^2 que u=1. Assim
integral0^y^2 e^xy^2,dx = integralu=0^1 e^u,y^2,du = y^2integral0^1 e^u,du = y^2l[e^ur]0^1 = y^2,(e-1)

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral em y:
integral1^2 y^2(e-1),dy = (e-1)integral1^2 y^2,dy = (e-1)l[tfracy^33r]1^2 = (e-1)l(83-13r) = 73(e-1)

Resposta

73,(e-1)

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