Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a transformada de uma função dada. Pergunta: qual é a transformada (no domínio
) de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
, onde é a função delta de Dirac. - Não há outras condições explícitas no enunciado (por exemplo, limites de integração diferentes de
a ), então usarei a definição usual da transformada de Laplace a partir de .
Passo 2
Definição útil (vamos aprender isso passo a passo): a transformada de Laplace de uma função
é dada por
onde
é, em geral, um número complexo. Aqui
é só um nome para a operação (transformada de Laplace). Cada símbolo significa:
-
: função no tempo que queremos transformar; -
: variável de tempo (real, ); -
: variável complexa do domínio transformado; -
: núcleo exponencial que faz o “peso” na integral.
Passo 3
Propriedade essencial da delta de Dirac (a mais importante para este exercício): a delta tem a propriedade de seleção (sifting):
para qualquer função teste
contínua em
. Em palavras: integrar
vezes outra função pega o valor dessa função em
(desde que
esteja dentro do intervalo de integração). Isso é o que chamamos de “propriedade de amostragem” da delta.]
Passo 4
Vamos calcular a transformada de cada termo separadamente. Primeiro, apliquei a definição para
:
Usando a propriedade de seleção com
e
(e observando que
), a integral vale simplesmente
. Ou seja,
Explicando devagar: a delta “pega” o valor de
exatamente em
, então substituí
no exponencial.
Passo 5
Agora para o segundo delta,
, o raciocínio é idêntico:
pois a delta amostra
em
.
Passo 6
Usando a linearidade da transformada de Laplace (ou seja,
), somamos os dois resultados:
Observação sobre existência: cada termo
e
é uma função inteira de
(bem comportada), então a expressão é válida para todo
.