Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\delta(t-3)+\delta(t-5)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a transformada de uma função dada. Pergunta: qual é a transformada (no domínio s) de f(t)=\delta(t-3)+\delta(t-5).\n
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\delta(t-3)+\delta(t-5), onde \delta(\cdot) é a função delta de Dirac.
  • Não há outras condições explícitas no enunciado (por exemplo, limites de integração diferentes de 0 a \infty), então usarei a definição usual da transformada de Laplace a partir de t=0.

Passo 2

Definição útil (vamos aprender isso passo a passo): a transformada de Laplace de uma função g(t) é dada por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. Aqui \mathcal{L}\{\cdot\} é só um nome para a operação (transformada de Laplace). Cada símbolo significa:
  • g(t): função no tempo que queremos transformar;
  • t: variável de tempo (real, t\ge 0);
  • s: variável complexa do domínio transformado;
  • e^{-s t}: núcleo exponencial que faz o “peso” na integral.

Passo 3

Propriedade essencial da delta de Dirac (a mais importante para este exercício): a delta tem a propriedade de seleção (sifting):
\int_{0}^{\infty} \delta(t-a)\,\varphi(t)\,dt = \begin{cases} \varphi(a), & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{se } a<0, \end{cases}
para qualquer função teste \varphi(t) contínua em t=a. Em palavras: integrar \delta(t-a) vezes outra função pega o valor dessa função em t=a (desde que a esteja dentro do intervalo de integração). Isso é o que chamamos de “propriedade de amostragem” da delta.]

Passo 4

Vamos calcular a transformada de cada termo separadamente. Primeiro, apliquei a definição para \delta(t-3):
\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\delta(t-3)\,dt.
Usando a propriedade de seleção com \varphi(t)=e^{-s t} e a=3 (e observando que 3\ge 0), a integral vale simplesmente e^{-s\cdot 3}. Ou seja,
\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}(s)=e^{-3s}.
Explicando devagar: a delta “pega” o valor de e^{-s t} exatamente em t=3, então substituí t=3 no exponencial.

Passo 5

Agora para o segundo delta, \delta(t-5), o raciocínio é idêntico:
\mathcal{L}\{\delta(t-5)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\delta(t-5)\,dt = e^{-5s},
pois a delta amostra e^{-s t} em t=5.

Passo 6

Usando a linearidade da transformada de Laplace (ou seja, \mathcal{L}\{g+h\}=\mathcal{L}\{g\}+\mathcal{L}\{h\}), somamos os dois resultados:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}(s)+\mathcal{L}\{\delta(t-5)\}(s)=e^{-3s}+e^{-5s}.
Observação sobre existência: cada termo e^{-3s} e e^{-5s} é uma função inteira de s (bem comportada), então a expressão é válida para todo s\in\mathbb{C}.

Resposta

e^{-3s}+e^{-5s}

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