Calcule a integral dupla
\int_{R} \int\left[y+y^{2} \cos (x)\right] d A
onde R é a região retangular 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \mathrm{e}-3 \leq y \leq 3.
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Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral dupla \displaystyle \iint_{R}\bigl[y + y^{2}\cos(x)\bigr]\,dA
sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\,-3 \le y \le 3\}.
O que vamos usar é a definição de integral iterada, a linearidade da integral dupla, e primitivação simples em y e em x.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{-3}^{3}\bigl[y + y^{2}\cos(x)\bigr]\,dy\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{-3}^{3}y\,dy\,dx +\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{-3}^{3}y^{2}\cos(x)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular
\int_{-3}^{3}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{-3}^{3} =\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0.
Logo o primeiro termo vale zero.

Passo 4

Calcular
\int_{-3}^{3}y^{2}\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{-3}^{3} =\frac{27}{3}-\bigl(-\frac{27}{3}\bigr) =9+9=18.
Assim
I = \int_{0}^{\pi/2}18\cos(x)\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x:
I = 18\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,dx =18\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi/2} =18\bigl(1-0\bigr) =18.

Resposta

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