Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x y e^{x+y} d A
onde R é a região retangular 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.
1
-2
0
-1
2

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{R} x\,y\,e^{x+y}\,dA
no retângulo R\colon 0\le x\le1, 0\le y\le1. Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral em produto de integrais simples e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Como x\,y\,e^{x+y}=(x e^x)(y e^y), pela separabilidade temos
\iint_{R} x\,y\,e^{x+y}\,dA =\Bigl(\int_{0}^{1}x e^x\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{1}y e^y\,dy\Bigr).
Por simetria, cada uma das integrais é igual a \displaystyle I=\int_{0}^{1}x e^x\,dx.

Passo 3

Para calcular
I=\int_{0}^{1}x e^x\,dx
fazemos integração por partes: seja u=x e dv=e^x\,dx. Então du=dx e v=e^x, logo
\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.
Avaliando de 0 a 1:
I=\bigl[e^x(x-1)\bigr]_{0}^{1} =\bigl(e\cdot0\bigr)-\bigl(1\cdot(-1)\bigr) =0-(-1)=1.

Passo 4

Como cada integral vale 1, a dupla é
\iint_{R}x\,y\,e^{x+y}\,dA =I\cdot I =1\cdot1 =1.

Resposta

1

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