Calcule a integral dupla
\int_{R} \int 4 x y e^{y} d A
onde R é a região retangular 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R}4\,x\,y\,e^{y}\,dA
onde R é o retângulo definido por 0\le x\le1 e 0\le y\le1. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em iteradas e aproveitar que o integrando é produto de uma função de x por uma função de y.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos
\iint_{R}4\,x\,y\,e^{y}\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1}4\,x\,y\,e^{y}\,dx\,dy.
Como 4x depende só de x e y e^{y} só de y, podemos separar:
\int_{0}^{1}4\,x\,dx \;\times\;\int_{0}^{1}y\,e^{y}\,dy.

Passo 3

Calcular a parte em x:
\int_{0}^{1}4\,x\,dx = 4\int_{0}^{1}x\,dx =4\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =4\cdot\tfrac{1}{2} =2.

Passo 4

Calcular a parte em y por partes. Seja u=y e dv=e^{y}dy, então du=dy e v=e^{y}. Logo,
\int_{0}^{1}y\,e^{y}\,dy =\bigl[y\,e^{y}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{y}\,dy =(1\cdot e-0)-\bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1} =e-(e-1) =1.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\iint_{R}4\,x\,y\,e^{y}\,dA =2\;\times\;1 =2.

Resposta

2

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