onde R é a região do 1 o quadrante do plano Cartesiano delimitada pela reta y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=4.
2/3
4/3
1/3
5/3
1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA
onde R é a região do 1º quadrante limitada pela reta y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4. O 1º quadrante impõe 0\le\theta\le\pi/2, mas como queremos os pontos abaixo de y=x (isto é, y\le x), ficamos com