Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x y^{3} d A
onde R é a região do 1 o quadrante do plano Cartesiano delimitada pela reta y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=4.
2/3
4/3
1/3
5/3
1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA
onde R é a região do 1º quadrante limitada pela reta y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4. O 1º quadrante impõe 0\le\theta\le\pi/2, mas como queremos os pontos abaixo de y=x (isto é, y\le x), ficamos com
0\le\theta\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le r\le2.

Passo 3

O integrando em polares é
x\,y^{3}=(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{3} =r^{4}\cos\theta\,\sin^{3}\theta
e com o jacobiano r fica
x\,y^{3}\,dA =r^{4}\cos\theta\,\sin^{3}\theta\;r\,dr\,d\theta =r^{5}\cos\theta\,\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar a integral em parte radial e parte angular:
\iint_{R}x\,y^{3}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\!\int_{r=0}^{2} r^{5}\cos\theta\,\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2}r^{5}dr\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,\sin^{3}\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculemos a parte radial:
\int_{0}^{2}r^{5}dr =\frac{r^{6}}{6}\Big|_{0}^{2} =\frac{2^{6}}{6} =\frac{64}{6} =\frac{32}{3}.

Passo 6

Para a parte angular use u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,\sin^{3}\theta\,d\theta =\int_{u=0}^{\sin(\pi/4)}u^{3}du =\frac{u^{4}}{4}\Big|_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{4} =\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{16} =\frac{1}{16}.

Passo 7

Multiplicando os resultados:
\iint_{R}x\,y^{3}\,dA =\frac{32}{3}\times\frac{1}{16} =\frac{32}{48} =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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