Calcule a integral dupla
onde
é a região do 1 ㅇ quadrante do plano Cartesiano delimitada pelas circunferências
.
5/3
4/3
1/3
8/3
2/3
5/3
4/3
1/3
8/3
2/3
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, pois as duas fronteiras são círculos.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
A circunferência maior
vira
e a menor
fica
Como estamos no primeiro quadrante,
vai de
a
e, para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando
se torna
e com o Jacobiano
obtemos
Portanto a integral é
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Logo a integral vira
Fazendo
,
, quando
temos
e quando
temos
. A integral em
passa a ser
Calculando:
Multiplicando: