Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x^{2} y d A
onde R é a região do 1 ㅇ quadrante do plano Cartesiano delimitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e}(x-1)^{2}+y^{2}=1.
5/3
4/3
1/3
8/3
2/3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R} x^{2}y\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências
x^{2}+y^{2}=4 \quad\text{e}\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, pois as duas fronteiras são círculos.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A circunferência maior x^{2}+y^{2}=4 vira r=2, e a menor (x-1)^{2}+y^{2}=1 fica
(r\cos\theta-1)^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta = 1 \;\Longrightarrow\; r = 2\cos\theta.
Como estamos no primeiro quadrante, \theta vai de 0 a \pi/2 e, para cada \theta, r varia de 2\cos\theta até 2.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando x^{2}y se torna
(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta,
e com o Jacobiano r obtemos
r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\;\times\;r = r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.
Portanto a integral é
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\!\int_{r=2\cos\theta}^{2} r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{2\cos\theta}^{2} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{2\cos\theta}^{2} = \frac{1}{5}\bigl(2^{5} - (2\cos\theta)^{5}\bigr) = \frac{32}{5}\bigl(1 - \cos^{5}\theta\bigr).
Logo a integral vira
\frac{32}{5}\int_{0}^{\pi/2} \bigl(1-\cos^{5}\theta\bigr)\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta.
Fazendo u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta, quando \theta=0 temos u=1 e quando \theta=\pi/2 temos u=0. A integral em \theta passa a ser
\frac{32}{5}\int_{u=1}^{0}(1-u^{5})\,u^{2}(-du) = \frac{32}{5}\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{7})\,du.
Calculando:
\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{7})\,du = \bigl[\tfrac{u^{3}}{3}-\tfrac{u^{8}}{8}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}-\frac{1}{8} = \frac{5}{24}.
Multiplicando:
\frac{32}{5}\times\frac{5}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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