- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
que fica no primeiro quadrante e é delimitada pela reta
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- Integrando:
. - Região
: conjunto de pontos com , e . (Isso forma um triângulo com vértices em , e .) - Limites possíveis (fornecidos no enunciado):
ou - O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método: vou integrar primeiro em
(ordem
), porque ao integrar
em relação a
tratamos
como constante e a antiderivada fica simples. Lembrete rápido de técnica: ao integrar uma expressão em que uma variável aparece apenas como fator multiplicativo (aqui
é constante quando integramos em
), podemos puxá-la para fora ou tratá-la como constante dentro da integral.
Portanto começo com
Passo 3
Calcular a integral interior
.
- Como
é constante em relação a , podemos escrever - A antiderivada de
em relação a é . Portanto - Concluímos que a integral dupla reduz-se a
Passo 4
Simplificar o integrando antes de integrar em
.
- Primeiro expandimos
: - Multiplicando por
e pelo fator : - Podemos reescrever como soma de termos simples:
Passo 5
Integrar termo a termo em
no intervalo de
a
.
- Antiderivadas:
- Assim uma primitiva é
- Avaliamos de
a : - Calculando cada termo:
- Somando (pondo em denominador comum
):
Passo 6
Verificação rápida integrando na ordem
(opcional, mas útil para aprender e confirmar):
- Começando por
o interior é - Então a integral externa é
- Expandindo
e integrando termo a termo (procedimento análogo ao anterior) leva ao mesmo resultado final . Isso confirma a consistência do cálculo.