1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{2}. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} x^{2} y d y d x=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} x^{2} y d x d y=\frac{8}{15}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função x^{2}y sobre a região R que fica no primeiro quadrante e é delimitada pela reta x+y=2. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Integrando: x^{2}y.
  • Região R: conjunto de pontos (x,y) com x\ge 0, y\ge 0 e x+y\le 2. (Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).)
  • Limites possíveis (fornecidos no enunciado): \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} x^{2}y\,dy\,dxou \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y} x^{2}y\,dx\,dy.
  • O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método: vou integrar primeiro em y (ordem dy\,dx), porque ao integrar x^{2}y em relação a y tratamos x como constante e a antiderivada fica simples. Lembrete rápido de técnica: ao integrar uma expressão em que uma variável aparece apenas como fator multiplicativo (aqui x^{2} é constante quando integramos em y), podemos puxá-la para fora ou tratá-la como constante dentro da integral.
Portanto começo com
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{2-x} x^{2}y\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interior \displaystyle \int_{0}^{2-x} x^{2}y\,dy.
  • Como x^{2} é constante em relação a y, podemos escrever \int_{0}^{2-x} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{0}^{2-x} y\,dy.
  • A antiderivada de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Portanto x^{2}\int_{0}^{2-x} y\,dy = x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2-x} = x^{2}\cdot\frac{(2-x)^{2}}{2}.
  • Concluímos que a integral dupla reduz-se a \int_{0}^{2} x^{2}\cdot\frac{(2-x)^{2}}{2}\,dx.

Passo 4

Simplificar o integrando antes de integrar em x.
  • Primeiro expandimos (2-x)^{2}: (2-x)^{2}=4-4x+x^{2}.
  • Multiplicando por x^{2} e pelo fator \dfrac{1}{2}: x^{2}\cdot\frac{(2-x)^{2}}{2}=\frac{1}{2}x^{2}(4-4x+x^{2}) =\frac{1}{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4}).
  • Podemos reescrever como soma de termos simples: \frac{1}{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4})=2x^{2}-2x^{3}+\frac{1}{2}x^{4}.

Passo 5

Integrar termo a termo em x no intervalo de 0 a 2.
  • Antiderivadas: \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3},
\int -2x^{3}\,dx = -2\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{1}{2}x^{4},
\int \frac{1}{2}x^{4}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{x^{5}}{10}.
  • Assim uma primitiva é F(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{x^{5}}{10}.
  • Avaliamos de 0 a 2: F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{2}\cdot 2^{4}+\frac{2^{5}}{10} =\frac{2}{3}\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot 16+\frac{32}{10}.
  • Calculando cada termo: \frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3},\qquad -\frac{1}{2}\cdot 16=-8,\qquad \frac{32}{10}=\frac{16}{5}.
  • Somando (pondo em denominador comum 15): \frac{16}{3}-8+\frac{16}{5}=\frac{80}{15}-\frac{120}{15}+\frac{48}{15}=\frac{8}{15}.

Passo 6

Verificação rápida integrando na ordem dx\,dy (opcional, mas útil para aprender e confirmar):
  • Começando por \int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{2-y} x^{2}y\,dx\right)dy,o interior é \int_{0}^{2-y} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{2-y} x^{2}\,dx = y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2-y} = y\cdot\frac{(2-y)^{3}}{3}.
  • Então a integral externa é \int_{0}^{2} y\cdot\frac{(2-y)^{3}}{3}\,dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{2} y(2-y)^{3}\,dy.
  • Expandindo y(2-y)^{3} e integrando termo a termo (procedimento análogo ao anterior) leva ao mesmo resultado final \dfrac{8}{15}. Isso confirma a consistência do cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{15}

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