1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{4 x}+\mathbf{3} e \boldsymbol{y}=\mathbf{- 2 x}+\mathbf{1 1}. (6 pontos)
\int_{-2}^{4} \int_{x^{2}-4 x+3}^{-2 x+11} d y d x=36

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e determinar a área delimitada pelas curvas y=x^{2}-4x+3 e y=-2x+11. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A primeira curva é a parábola y=x^{2}-4x+3.
  • A segunda curva é a reta y=-2x+11.
  • Queremos a área da região comum limitada por essas duas curvas (ou seja, a área entre elas onde se interceptam).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo x^{2}-4x+3=-2x+11. Faço todas as etapas algébricas:
x^{2}-4x+3 = -2x+11
x^{2}-4x+3 +2x -11 = 0
x^{2}-2x-8=0
Esta é uma equação quadrática. Calculo o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36.
As raízes são
x = \frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2},
portanto
x=-2\quad\text{e}\quad x=4.
Agora obtenho as ordenadas substituindo na reta y=-2x+11 (é mais fácil):
Para x=-2: y=-2(-2)+11=4+11=15.
Para x=4: y=-2(4)+11=-8+11=3.
Logo os pontos de interseção são (-2,15) e (4,3).

Passo 3

Determinar qual curva está acima (ou seja, o “top”) entre x=-2 e x=4. Escolho um valor de teste, por exemplo x=0:
\text{parábola em }x=0:\; y=0^{2}-4\cdot0+3=3,á
\text{reta em }x=0:\; y=-2\cdot0+11=11.
Como 11>3, a reta y=-2x+11 está acima da parábola y=x^{2}-4x+3 no intervalo entre as interseções. Portanto o elemento de área vertical típico tem altura \text{(reta)}-\text{(parábola)}á.

Passo 4

Explicar a fórmula da área entre curvas (aula rápida e intuitiva): se uma região R está delimitada, para a\le x\le b, por uma função de cima y=f_{\text{top}}(x) e por baixo y=f_{\text{bot}}(x), a área de R é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f_{\text{top}}(x)-f_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Razão intuitiva: dividimos o intervalo em fatias verticais de largura \Delta x. A altura da fatia é f_{\text{top}}(x)-f_{\text{bot}}(x), então a área da fatia é aproximadamente (f_{\text{top}}-f_{\text{bot}})\Delta x. Somando e passando ao limite isso dá a integral acima.
No nosso caso a=-2, b=4, f_{\text{top}}(x)=-2x+11 e f_{\text{bot}}(x)=x^{2}-4x+3. Assim monto a integral:
\text{Área}=\int_{-2}^{4}\bigl((-2x+11)-(x^{2}-4x+3)\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Simplifico o integrando e integro passo a passo:
Calculo o integrando:
(-2x+11)-(x^{2}-4x+3) = -2x+11 -x^{2}+4x-3 = -x^{2}+2x+8.
Logo
\text{Área}=\int_{-2}^{4}\bigl(-x^{2}+2x+8\bigr)\,dx.Á
Encontro a primitiva termo a termo (sem pular etapas):
  • A primitiva de -x^{2} é -\frac{1}{3}x^{3} porque \frac{d}{dx}\!\bigl(-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr)=-x^{2}.
  • A primitiva de 2x é x^{2} porque \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • A primitiva de 8 é 8x porque \frac{d}{dx}(8x)=8.
    Portanto uma primitiva para o integrando é
F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+8x.
Avalio a primitiva nos limites x=-2 e x=4 (mostrando as contas com cuidado):
Para x=4:
F(4)=-\frac{1}{3}\cdot 4^{3}+4^{2}+8\cdot4 = -\frac{64}{3}+16+32.
Junto 16+32=48=\frac{144}{3}, então
F(4)=-\frac{64}{3}+\frac{144}{3}=\frac{80}{3}.
Para x=-2:
F(-2)=-\frac{1}{3}\cdot(-2)^{3}+(-2)^{2}+8\cdot(-2) = -\frac{1}{3}\cdot(-8)+4-16.
Isso dá
F(-2)=\frac{8}{3}+4-16=\frac{8}{3}-12=\frac{8-36}{3}=\frac{-28}{3}.
Agora a integral definida é F(4)-F(-2):
F(4)-F(-2)=\frac{80}{3}-\bigl(\frac{-28}{3}\bigr)=\frac{80}{3}+\frac{28}{3}=\frac{108}{3}=36.
Portanto, calculando a integral encontramos a área da região pedida como \,36.

Passo 6

Como esboço (orientação para desenhar à mão rápida no caderno):
  • A parábola y=x^{2}-4x+3 abre para cima, tem vértice em x=\frac{4}{2}=2 e y(2)=2^{2}-8+3=-1, ou seja vértice em (2,-1); ela cruza o eixo x em x=1 e x=3.
  • A reta y=-2x+11 tem coeficiente angular -2 (decrescente) e intercepto em y=11.
  • As curvas se cortam em (-2,15) e (4,3); entre esses x a reta fica acima da parábola. A região limitada fica entre essas interseções, parecendo uma “folha” vertical limitada lateralmente em x=-2 e x=4.
    Desenhe a parábola (vértice em (2,-1), passando por (1,0) e (3,0)) e a reta (passa por (0,11), (4,3), (-2,15)), marque as interseções e sombreie a região entre elas: é a região cuja área acabamos de calcular.

Resposta

36

Exercícios relacionados