- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e determinar a área delimitada pelas curvas
e
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A primeira curva é a parábola
. - A segunda curva é a reta
. - Queremos a área da região comum limitada por essas duas curvas (ou seja, a área entre elas onde se interceptam).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
. Faço todas as etapas algébricas:
Esta é uma equação quadrática. Calculo o discriminante:
As raízes são
portanto
Agora obtenho as ordenadas substituindo na reta
(é mais fácil):
Para :
.
Para :
.
Logo os pontos de interseção são e
.
Para
Para
Logo os pontos de interseção são
Passo 3
Determinar qual curva está acima (ou seja, o “top”) entre
e
. Escolho um valor de teste, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo entre as interseções. Portanto o elemento de área vertical típico tem altura
.
Passo 4
Explicar a fórmula da área entre curvas (aula rápida e intuitiva): se uma região
está delimitada, para
, por uma função de cima
e por baixo
, a área de
é dada por
Razão intuitiva: dividimos o intervalo em fatias verticais de largura
. A altura da fatia é
, então a área da fatia é aproximadamente
. Somando e passando ao limite isso dá a integral acima.
No nosso caso
,
,
e
. Assim monto a integral:
Passo 5
Simplifico o integrando e integro passo a passo:
Calculo o integrando:
Calculo o integrando:
Logo
Encontro a primitiva termo a termo (sem pular etapas):
- A primitiva de
é porque . - A primitiva de
é porque . - A primitiva de
é porque .
Portanto uma primitiva para o integrando é
Avalio a primitiva nos limites
e
(mostrando as contas com cuidado):
Para
:
Junto
, então
Para
:
Isso dá
Agora a integral definida é
:
Portanto, calculando a integral encontramos a área da região pedida como
.
Passo 6
Como esboço (orientação para desenhar à mão rápida no caderno):
- A parábola
abre para cima, tem vértice em e , ou seja vértice em ; ela cruza o eixo em e . - A reta
tem coeficiente angular (decrescente) e intercepto em . - As curvas se cortam em
e ; entre esses a reta fica acima da parábola. A região limitada fica entre essas interseções, parecendo uma “folha” vertical limitada lateralmente em e .
Desenhe a parábola (vértice em, passando por e ) e a reta (passa por , , ), marque as interseções e sombreie a região entre elas: é a região cuja área acabamos de calcular.
Resposta
36