- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola
e pela reta
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
do primeiro quadrante limitada pela parábola
e pela reta
. Informações importantes que temos:
- A região
está no primeiro quadrante, logo e . - As curvas que delimitam
são (baixo) e (cima). - As interseções entre
e ocorrem quando , ou seja (no primeiro quadrante usamos ). - Portanto uma descrição natural da região por fatias verticais é:
e, para cada fixo, .
A integral dada é
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): uma integral dupla sobre uma região simples do tipo “vertical” pode ser calculada como uma integral iterada
Aqui
é a função que estamos integrando (no caso
),
e
dão os limites de
para cada
, e
são os limites de
. A ideia é: para cada
fixo, integramos em
(essa é a integral interna), obtemos uma função só de
, e então integramos essa função em
(integral externa).
No nosso caso a integral já está escrita nesse formato:
No nosso caso a integral já está escrita nesse formato:
onde
é tratado como constante ao integrar em
.
Passo 3
Calcular a integral interna (integração em
com
fixo). Como
não depende de
, podemos tirar
da integração em
:
Agora
é simplesmente o comprimento do intervalo em
, que vale
. Logo
Expliquei o porquê: integrar
em
de
até
dá
; multiplicando por
obtemos a antiderivada interna.
Passo 4
Agora integramos a função resultante em
de
a
:
Calcule antiderivadas termo a termo:
- Antiderivada de
é , porque . - Antiderivada de
é , porque .
Portanto uma primitiva deé . Avaliando de a :
Calcule cada termo:
. E
. Assim
Passo 5
Interpretação/checagem rápida: o valor da integral dupla é
. Como checagem alternativa (didática), poderíamos trocar a ordem de integração: descrever
como
e calcular
Integrando em
primeiro dá
,
confirmando o mesmo resultado. Isso mostra consistência e treina a visão geométrica da região.
confirmando o mesmo resultado. Isso mostra consistência e treina a visão geométrica da região.
Resposta
4