1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} e pela reta \mathrm{y}=4. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{4} x d y d x=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função x sobre a região R do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=4. Informações importantes que temos:
  • A região R está no primeiro quadrante, logo x\ge 0 e y\ge 0.
  • As curvas que delimitam R são y=x^{2} (baixo) e y=4 (cima).
  • As interseções entre y=x^{2} e y=4 ocorrem quando x^{2}=4, ou seja x=2 (no primeiro quadrante usamos x=2).
  • Portanto uma descrição natural da região por fatias verticais é: 0\le x\le 2 e, para cada x fixo, x^{2}\le y\le 4.
    A integral dada é
\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{4} x\,dy\,dx.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): uma integral dupla sobre uma região simples do tipo “vertical” pode ser calculada como uma integral iterada
\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui f(x,y) é a função que estamos integrando (no caso f(x,y)=x), g_{1}(x) e g_{2}(x) dão os limites de y para cada x, e a,b são os limites de x. A ideia é: para cada x fixo, integramos em y (essa é a integral interna), obtemos uma função só de x, e então integramos essa função em x (integral externa).
No nosso caso a integral já está escrita nesse formato:
\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{4} x\,dy\,dx,
onde x é tratado como constante ao integrar em y.

Passo 3

Calcular a integral interna (integração em y com x fixo). Como x não depende de y, podemos tirar x da integração em y:
\int_{x^{2}}^{4} x\,dy = x\int_{x^{2}}^{4} 1\,dy.
Agora \int_{x^{2}}^{4} 1\,dy é simplesmente o comprimento do intervalo em y, que vale 4-x^{2}. Logo
\int_{x^{2}}^{4} x\,dy = x(4-x^{2}) = 4x - x^{3}.
Expliquei o porquê: integrar 1 em y de y=x^{2} até y=4 4-x^{2}; multiplicando por x obtemos a antiderivada interna.

Passo 4

Agora integramos a função resultante em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (4x - x^{3})\,dx.
Calcule antiderivadas termo a termo:
  • Antiderivada de 4x é 2x^{2}, porque \frac{d}{dx}(2x^{2})=4x.
  • Antiderivada de x^{3} é \frac{x^{4}}{4}, porque \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3}.
    Portanto uma primitiva de 4x-x^{3} é 2x^{2}-\frac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 2:
\left[2x^{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \left(2\cdot 2^{2}-\frac{2^{4}}{4}\right)-\left(2\cdot 0^{2}-\frac{0^{4}}{4}\right).
Calcule cada termo: 2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8. E \frac{2^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4. Assim
8-4=4.

Passo 5

Interpretação/checagem rápida: o valor da integral dupla é 4. Como checagem alternativa (didática), poderíamos trocar a ordem de integração: descrever R como \{(x,y): 0\le y\le 4,\; 0\le x\le \sqrt{y}\} e calcular
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{y}} x\,dx\,dy.
Integrando em x primeiro dá \int_{0}^{4}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{y}}dy=\int_{0}^{4}\frac{y}{2}\,dy=\left[\frac{y^{2}}{4}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{4}=4,
confirmando o mesmo resultado. Isso mostra consistência e treina a visão geométrica da região.

Resposta

4

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