1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=3, z=10 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} \int_{3-r \operatorname{sen}(\theta)}^{10} r^{3} d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede: expressar a integral tripla, com os limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z.
Informações dadas pelo enunciado:
  • O sólido é um eixo maciço de seção cilíndrica com densidade constante \delta.
  • O sólido é delimitado pelos planos y+z=3 e z=10.
  • O sólido está ainda limitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9.
  • Não é necessário calcular a integral, apenas escrevê-la com os limites corretos.

Passo 2

Definição do momento de inércia em coordenadas cartesianas: o momento de inércia em torno do eixo z é a integral do produto da densidade pelo quadrado da distância ao eixo z sobre todo o volume do corpo. Em fórmula,
I_{z}=\iiint (x^{2}+y^{2})\,\delta\, dV.
Aqui \delta é a densidade volumétrica constante e dV é o elemento de volume.

Passo 3

Mudança para coordenadas cilíndricas (útil por causa do cilindro x^{2}+y^{2}=9): fazemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Nessas coordenadas, a distância ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r, então x^{2}+y^{2}=r^{2}. O elemento de volume transforma-se como
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Portanto o integrando em cilindricas fica
(x^{2}+y^{2})\,\delta\,dV = \delta\,r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \delta\,r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinação dos limites de integração:
  • Pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 temos 0\le r\le 3.
  • Como o cilindro é completo em torno do eixo z, \theta varia de 0 a 2\pi: 0\le \theta\le 2\pi.
  • As faces em z são dadas por z=10 (teto) e pelo plano y+z=3. Da equação do plano isolamos z:
z = 3 - y = 3 - r\sin\theta.
Esse é o limite inferior em z. Observação rápida: para 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le 2\pi tem-se 3-r\sin\theta\le 6\le 10, então o limite inferior está sempre abaixo de 10, logo a ordem \int_{z=3-r\sin\theta}^{10} é válida.

Passo 5

Montando a integral tripla com a ordem dz\,dr\,d\theta e o integrando \delta\,r^{3}, obtemos a expressão procurada:
\delta \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{3 - r\sin\theta}^{10} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Resposta

\delta \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{3 - r\sin\theta}^{10} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta

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