- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: expressar a integral tripla, com os limites de integração adequados, que permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
.
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- O sólido é um eixo maciço de seção cilíndrica com densidade constante
. - O sólido é delimitado pelos planos
e . - O sólido está ainda limitado lateralmente pelo cilindro
. - Não é necessário calcular a integral, apenas escrevê-la com os limites corretos.
Passo 2
Definição do momento de inércia em coordenadas cartesianas: o momento de inércia em torno do eixo
é a integral do produto da densidade pelo quadrado da distância ao eixo
sobre todo o volume do corpo. Em fórmula,
Aqui
é a densidade volumétrica constante e
é o elemento de volume.
Passo 3
Mudança para coordenadas cilíndricas (útil por causa do cilindro
): fazemos
Nessas coordenadas, a distância ao eixo
é
, então
. O elemento de volume transforma-se como
Portanto o integrando em cilindricas fica
Passo 4
Determinação dos limites de integração:
- Pelo cilindro
temos . - Como o cilindro é completo em torno do eixo
, varia de a : . - As faces em
são dadas por (teto) e pelo plano . Da equação do plano isolamos :
Esse é o limite inferior em
. Observação rápida: para
e
tem-se
, então o limite inferior está sempre abaixo de
, logo a ordem
é válida.
Passo 5
Montando a integral tripla com a ordem
e o integrando
, obtemos a expressão procurada: