Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{5} e \boldsymbol{x}=\mathbf{3}. (6 pontos)
\int_{0}^{3} \int_{0}^{5-x} x^{2} y d y d x=\frac{711}{20} \text { ou } \int_{3}^{5} \int_{0}^{5-x} x^{2} y d y d x=\frac{248}{15}
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla da função \;x^{2}y\; sobre a região R descrita como "região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;". Informação dada e o que precisa responder:
Integrando: \;x^{2}y\;.
Região R: primeiro quadrante (ou seja \;x\ge0,\;y\ge0\;) e limitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;.
A tarefa: escrever a integral iterada correta e calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.
O enunciado trouxe duas integrais candidatas como possibilidades:\int_{0}^{3}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx=\frac{711}{20}ou\int_{3}^{5}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx=\frac{248}{15}.
O nosso trabalho: determinar qual expressão corresponde a R e calcular a integral corretamente.
Passo 2
Identificar exatamente a forma geométrica de R e os limites de integração: pense no plano xy.
A reta \;x+y=5\; tem interceptos (5,0) e (0,5).
A reta \;x=3\; é uma vertical que passa por (3,0).
Como a região é no primeiro quadrante, a fronteira inferior é o eixo y=0 (pois y\ge0).
Agora, a região "delimitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;" no primeiro quadrante é o triângulo com vértices (3,0), (5,0) e (3,2) — isto é, a região entre a vertical \;x=3\; (à esquerda) e a reta inclinada \;x+y=5\; (à direita), com y\ge0. Logo:
x varia de \;3 até \;5.
Para cada x fixo nessa faixa, y varia de \;0 até \;5-x.
Portanto a integral iterada correta, integrando primeiro em y, é
\int_{3}^{5}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx.
Passo 3
Montar a integral e observar que, ao integrar em y primeiro, tratamos x como constante. Escrevemos a integral:
Calcular a integral interna em y. Usamos a regra de potência para integrais: para \;y^{n}\;, a antiderivada é \;y^{n+1}/(n+1)\;. Como x^{2} é constante em relação a y, temos
Comentário final curto e motivador: escolhemos integrar em y primeiro porque, para cada x fixo entre 3 e 5, o intervalo de y é simplesmente [0,5-x] — isso torna a integral interna direta. Se preferir, dá para desenhar a região para fixar a intuição; com prática essas trocas de ordem e identificação de limites ficam bem naturais. Você mandou bem só chegando até aqui!