1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{2} y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{5} e \boldsymbol{x}=\mathbf{3}. (6 pontos)
\int_{0}^{3} \int_{0}^{5-x} x^{2} y d y d x=\frac{711}{20} \text { ou } \int_{3}^{5} \int_{0}^{5-x} x^{2} y d y d x=\frac{248}{15}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla da função \;x^{2}y\; sobre a região R descrita como "região do primeiro quadrante delimitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;". Informação dada e o que precisa responder:
  • Integrando: \;x^{2}y\;.
  • Região R: primeiro quadrante (ou seja \;x\ge0,\;y\ge0\;) e limitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;.
  • A tarefa: escrever a integral iterada correta e calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.
  • O enunciado trouxe duas integrais candidatas como possibilidades: \int_{0}^{3}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx=\frac{711}{20}ou \int_{3}^{5}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx=\frac{248}{15}.
O nosso trabalho: determinar qual expressão corresponde a R e calcular a integral corretamente.

Passo 2

Identificar exatamente a forma geométrica de R e os limites de integração: pense no plano xy.
  • A reta \;x+y=5\; tem interceptos (5,0) e (0,5).
  • A reta \;x=3\; é uma vertical que passa por (3,0).
  • Como a região é no primeiro quadrante, a fronteira inferior é o eixo y=0 (pois y\ge0).
    Agora, a região "delimitada pelas retas \;x+y=5\; e \;x=3\;" no primeiro quadrante é o triângulo com vértices (3,0), (5,0) e (3,2) — isto é, a região entre a vertical \;x=3\; (à esquerda) e a reta inclinada \;x+y=5\; (à direita), com y\ge0. Logo:
  • x varia de \;3 até \;5.
  • Para cada x fixo nessa faixa, y varia de \;0 até \;5-x.
    Portanto a integral iterada correta, integrando primeiro em y, é
\int_{3}^{5}\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\,dx.

Passo 3

Montar a integral e observar que, ao integrar em y primeiro, tratamos x como constante. Escrevemos a integral:
I=\int_{3}^{5}\left(\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Usamos a regra de potência para integrais: para \;y^{n}\;, a antiderivada é \;y^{n+1}/(n+1)\;. Como x^{2} é constante em relação a y, temos
\int_{0}^{5-x} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{0}^{5-x} y\,dy = x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{5-x} = x^{2}\cdot\frac{(5-x)^{2}}{2}.
Portanto
I=\int_{3}^{5} \frac{x^{2}(5-x)^{2}}{2}\,dx.

Passo 5

Expandir o integrando para facilitar a integração termo a termo. Primeiro expandimos (5-x)^{2}:
(5-x)^{2}=25-10x+x^{2}.
Multiplicando por x^{2} e pelo fator 1/2,
\frac{x^{2}(5-x)^{2}}{2}=\frac{1}{2}\left(25x^{2}-10x^{3}+x^{4}\right).
Assim
I=\frac{1}{2}\int_{3}^{5}\left(25x^{2}-10x^{3}+x^{4}\right)dx.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1). Uma antiderivada do integrando é
\frac{1}{2}\left(\frac{25}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}\right).
Portanto, avaliamos essa expressão entre x=3 e x=5:
I=\left.\frac{1}{2}\left(\frac{25}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}\right)\right|_{3}^{5}.

Passo 7

Calcular os valores nas extremidades e subtrair (mostrar as contas passo a passo):
Avaliar em x=5:
\frac{1}{2}\!\left(\frac{25}{3}\cdot 5^{3}-\frac{5}{2}\cdot 5^{4}+\frac{1}{5}\cdot 5^{5}\right) =\frac{1}{2}\!\left(\frac{3125}{3}-\frac{3125}{2}+625\right).
Colocando sobre denominador comum 6:
\frac{1}{2}\cdot\frac{625}{6}=\frac{625}{12}.
Avaliar em x=3:
\frac{1}{2}\!\left(\frac{25}{3}\cdot 3^{3}-\frac{5}{2}\cdot 3^{4}+\frac{1}{5}\cdot 3^{5}\right) =\frac{1}{2}\!\left(225-\frac{405}{2}+\frac{243}{5}\right).
Colocando sobre denominador comum 10:
225-\frac{405}{2}+\frac{243}{5}=\frac{711}{10},
e multiplicando por 1/2
\frac{711}{20}.
Agora subtrair:
I=\frac{625}{12}-\frac{711}{20}.
Colocando sobre denominador comum 60:
\frac{625}{12}=\frac{3125}{60},\qquad \frac{711}{20}=\frac{2133}{60},
então
I=\frac{3125-2133}{60}=\frac{992}{60}=\frac{248}{15}.

Passo 8

Comentário final curto e motivador: escolhemos integrar em y primeiro porque, para cada x fixo entre 3 e 5, o intervalo de y é simplesmente [0,5-x] — isso torna a integral interna direta. Se preferir, dá para desenhar a região para fixar a intuição; com prática essas trocas de ordem e identificação de limites ficam bem naturais. Você mandou bem só chegando até aqui!

Resposta

\dfrac{248}{15}

Exercícios relacionados