- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: “esboce” e “determine a área delimitada” pelas curvas
e
. As informações dadas são exatamente as equações dessas duas curvas. Não há outros dados externos.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção entre as curvas — são os limites horizontais da região. Igualamos as duas expressões de
:
Passando todos os termos para a esquerda:
Isto é uma equação quadrática. Para resolvê-la usamos fatoração (procurando dois números cujo produto é
e soma é
):
Logo as raízes são
e
. Substituindo numa das curvas para obter as coordenadas:
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Para saber qual curva fica por cima (necessário para montar o integrando), avaliamos em um valor intermediário, por exemplo
.
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo entre as interseções. Logo, a altura vertical da região em cada
é
Passo 4
Explicando por que usamos integração: imagine uma fatia vertical de largura infinitesimal
em posição
. A área dessa fatia é
. Somando (integrando) essas fatias de
a
obtemos a área total. Portanto a área
é
Simplificando o integrando:
Então
Passo 5
Vamos calcular a integral. Primeiro encontramos a primitiva (antiderivada) termo a termo:
Portanto uma primitiva é
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 6
Calculamos
e
cuidadosamente em frações.
Primeiro :
Primeiro
Calcule
. Então
Escrevendo
como
temos
Agora
:
Calcule
. Assim
Subtraindo:
Passando
para sexto:
logo
Passo 7
Interpretação final e esboço: a região é limitada pela reta
por cima e pela parábola
por baixo, entre
e
. A parábola tem vértice em
(cálculo do vértice:
), com
, e abre para cima. A reta tem inclinação
e intercepto
. Um esboço rápido mostra a curva quadrática abaixo da reta entre os pontos
e
. A área calculada é
unidades de área.