1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\mathbf{7 x}+\mathbf{1 0} e \boldsymbol{y}=\mathbf{2 x}+\mathbf{2}. (6 pontos)
\int_{1}^{8} \int_{x^{2}-7 x+10}^{2 x+2} d y d x=\frac{343}{6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: “esboce” e “determine a área delimitada” pelas curvas y=x^{2}-7x+10 e y=2x+2. As informações dadas são exatamente as equações dessas duas curvas. Não há outros dados externos.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção entre as curvas — são os limites horizontais da região. Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}-7x+10 = 2x+2.
Passando todos os termos para a esquerda:
x^{2}-9x+8=0.
Isto é uma equação quadrática. Para resolvê-la usamos fatoração (procurando dois números cujo produto é 8 e soma é -9):
x^{2}-9x+8=(x-1)(x-8)=0.
Logo as raízes são x=1 e x=8. Substituindo numa das curvas para obter as coordenadas:
\text{em }x=1:\quad y=2\cdot1+2=4,
\text{em }x=8:\quad y=2\cdot8+2=18.
Portanto os pontos de interseção são (1,4) e (8,18).

Passo 3

Para saber qual curva fica por cima (necessário para montar o integrando), avaliamos em um valor intermediário, por exemplo x=2.
y_{\text{parábola}}(2)=2^{2}-7\cdot2+10=4-14+10=0,á
y_{\text{reta}}(2)=2\cdot2+2=6.
Como 0<6, a reta y=2x+2 está acima da parábola y=x^{2}-7x+10 no intervalo entre as interseções. Logo, a altura vertical da região em cada x\in[1,8] é
\text{altura}(x)=\bigl(2x+2\bigr)-\bigl(x^{2}-7x+10\bigr).

Passo 4

Explicando por que usamos integração: imagine uma fatia vertical de largura infinitesimal dx em posição x. A área dessa fatia é \text{altura}(x)\,dx. Somando (integrando) essas fatias de x=1 a x=8 obtemos a área total. Portanto a área A é
A=\int_{1}^{8}\bigl[(2x+2)-(x^{2}-7x+10)\bigr]\,dx.
Simplificando o integrando:
(2x+2)-(x^{2}-7x+10) = -x^{2}+9x-8.
Então
A=\int_{1}^{8}\bigl(-x^{2}+9x-8\bigr)\,dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral. Primeiro encontramos a primitiva (antiderivada) termo a termo:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 9x\,dx = \frac{9x^{2}}{2},\qquad \int -8\,dx = -8x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{9x^{2}}{2}-8x.
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
A=F(8)-F(1).

Passo 6

Calculamos F(8) e F(1) cuidadosamente em frações.
Primeiro F(8):
F(8)=-\frac{8^{3}}{3}+\frac{9\cdot 8^{2}}{2}-8\cdot 8 =-\frac{512}{3}+\frac{9\cdot 64}{2}-64.
Calcule \frac{9\cdot 64}{2}=\frac{576}{2}=288. Então
F(8)=-\frac{512}{3}+288-64=-\frac{512}{3}+224.
Escrevendo 224 como \frac{672}{3} temos
F(8)=\frac{672-512}{3}=\frac{160}{3}.
Agora F(1):
F(1)=-\frac{1^{3}}{3}+\frac{9\cdot1^{2}}{2}-8\cdot1=-\frac{1}{3}+\frac{9}{2}-8.
Calcule \frac{9}{2}-8=\frac{9-16}{2}=-\frac{7}{2}. Assim
F(1)=-\frac{1}{3}-\frac{7}{2}=-\frac{2}{6}-\frac{21}{6}=-\frac{23}{6}.
Subtraindo:
A=F(8)-F(1)=\frac{160}{3}-\left(-\frac{23}{6}\right)=\frac{160}{3}+\frac{23}{6}.
Passando \frac{160}{3} para sexto:
\frac{160}{3}=\frac{320}{6},
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A=\frac{320}{6}+\frac{23}{6}=\frac{343}{6}.

Passo 7

Interpretação final e esboço: a região é limitada pela reta y=2x+2 por cima e pela parábola y=x^{2}-7x+10 por baixo, entre x=1 e x=8. A parábola tem vértice em x=\tfrac{7}{2} (cálculo do vértice: x_v=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{-7}{2\cdot1}=\tfrac{7}{2}), com y_v=-\tfrac{9}{4}, e abre para cima. A reta tem inclinação 2 e intercepto 2. Um esboço rápido mostra a curva quadrática abaixo da reta entre os pontos (1,4) e (8,18). A área calculada é \tfrac{343}{6} unidades de área.

Resposta

\dfrac{343}{6}

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