Calcule a integral dupla \int_{R} \int x d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola \boldsymbol{y}=5-\boldsymbol{x}^{2} e pela reta \mathbf{y}=\mathbf{1}. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{1}^{5-x^{2}} x d y d x=4
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R} x\,dA, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela parábola y=5-x^{2} e pela reta y=1. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Região R está no primeiro quadrante (ou seja, x\ge 0 e y\ge 0).
Limites curvas: y=5-x^{2} (parábola voltada para baixo) e y=1 (reta horizontal).
Precisamos calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} x\,dA.
Passo 2
Encontrar a interseção entre as curvas para determinar os limites em x. Igualamos as expressões de y:
5 - x^{2} = 1.
Resolvendo:
x^{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 2.
Como a região está no primeiro quadrante, tomamos x entre 0 e 2. Portanto os limites em x serão 0\le x\le 2. Para cada x fixo nessa faixa, y varia da reta y=1 até a parábola y=5-x^{2}; logo 1\le y\le 5-x^{2}.
Passo 3
Montamos a integral iterada na ordem dy\,dx (integrar primeiro em y, depois em x). A integral fica:
\int_{0}^{2}\int_{1}^{5-x^{2}} x\,dy\,dx.
Explicação didática: aqui x é tratado como constante quando integramos em relação a y, porque a integração interna só varia y. A integral dupla soma o valor de x sobre cada elemento de área dA na região R.
Uma primitiva de 4x é 2x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x.
Uma primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}, porque \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{x^{4}}{4}\bigr)=x^{3}.
Portanto a primitiva de 4x - x^{3} é 2x^{2} - \dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 2:
Interpretação rápida: o valor \iint_{R} x\,dA = 4 é a soma (integral) do valor x sobre toda a região R. Em física isso corresponde, por exemplo, ao momento em relação ao eixo y de uma lâmina com densidade superficial unitária multiplicada por x. Mas para a prova, o importante é o procedimento de montar os limites, integrar em y tratando x como constante, e depois integrar em x.