- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região do primeiro quadrante limitada pela reta
da função
. Informações dadas e o que devemos encontrar:
- Integrando:
. - Região
: triângulo no primeiro quadrante definido por
- A tarefa é calcular
(O enunciado também mostra as formas iteradas, mas aqui vamos determinar corretamente os limites e calcular passo a passo.)
Passo 2
Como a região
é um triângulo simples, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro escolho integrar em
primeiro (ordem
). Para cada
fixo em
, o
varia de
até
. Assim a integral fica
Explicação didática rápida: ao integrar por
primeiro tratamos
como constante. O limite superior
vem da reta
.
Passo 3
Calculo da integral interna em
, lembrando que
é tratado como constante. A antiderivada de
em relação a
é
(porque a integral de
é
). Então
Passo 4
Agora a integral reduz-se a uma integral em
:
Para prosseguir, vou expandir
para integrar termo a termo:
portanto
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora uso as fórmulas básicas de integração de potências:
para
. Aplicando de
a
:
Passo 6
Substituindo esses valores:
Faço a conta dentro dos parênteses usando denominador comum
:
Então
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Como verificação (boa prática na prova), resolvo trocando a ordem de integração: primeiro em
e depois em
. Para
fixo em
,
varia de
até
. Assim
Integral interna em
:
Logo
Expandindo e integrando termo a termo (ou usando Beta), chega-se ao valor
novamente, confirmando o cálculo anterior.