1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x^{3} y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{1}. (6 pontos)
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{3} d y d x=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} x^{3} d x d y=\frac{1}{20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região do primeiro quadrante limitada pela reta x+y=1 da função x^{3}y. Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • Integrando: x^{3}y.
  • Região R: triângulo no primeiro quadrante definido por
R=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
  • A tarefa é calcular
\iint_{R} x^{3}y\,dA.
(O enunciado também mostra as formas iteradas, mas aqui vamos determinar corretamente os limites e calcular passo a passo.)

Passo 2

Como a região R é um triângulo simples, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro escolho integrar em y primeiro (ordem dy\,dx). Para cada x fixo em [0,1], o y varia de 0 até 1-x. Assim a integral fica
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} x^{3}y\,dy\,dx.
Explicação didática rápida: ao integrar por y primeiro tratamos x como constante. O limite superior 1-x vem da reta x+y=1.

Passo 3

Calculo da integral interna em y, lembrando que x é tratado como constante. A antiderivada de x^{3}y em relação a y é x^{3}\cdot \frac{y^{2}}{2} (porque a integral de y é y^{2}/2). Então
\int_{y=0}^{1-x} x^{3}y\,dy = x^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x} = x^{3}\cdot\frac{(1-x)^{2}}{2}.

Passo 4

Agora a integral reduz-se a uma integral em x:
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3}(1-x)^{2}\,dx.
Para prosseguir, vou expandir (1-x)^{2} para integrar termo a termo:
(1-x)^{2}=1-2x+x^{2},
portanto
x^{3}(1-x)^{2} = x^{3}-2x^{4}+x^{5}.

Passo 5

Substituindo na integral:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (x^{3}-2x^{4}+x^{5})\,dx = \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx -2\int_{0}^{1} x^{4}\,dx + \int_{0}^{1} x^{5}\,dx\right).
Agora uso as fórmulas básicas de integração de potências: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} x^{5}\,dx = \frac{1}{6}.

Passo 6

Substituindo esses valores:
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} -2\cdot\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\right).
Faço a conta dentro dos parênteses usando denominador comum 60:
\frac{1}{4}=\frac{15}{60},\quad 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}=\frac{24}{60},\quad \frac{1}{6}=\frac{10}{60}.
Então
\frac{1}{4} -2\cdot\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{15-24+10}{60} = \frac{1}{60}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{60} = \frac{1}{120}.

Passo 7

Como verificação (boa prática na prova), resolvo trocando a ordem de integração: primeiro em x e depois em y. Para y fixo em [0,1], x varia de 0 até 1-y. Assim
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y} x^{3}y\,dx\,dy.
Integral interna em x:
\int_{0}^{1-y} x^{3}y\,dx = y\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1-y} = y\cdot\frac{(1-y)^{4}}{4}.
Logo
\iint_{R} x^{3}y\,dA = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} y(1-y)^{4}\,dy.
Expandindo e integrando termo a termo (ou usando Beta), chega-se ao valor \dfrac{1}{120} novamente, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{120}

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