Calcule a integral dupla
onde
é a região do 1 o quadrante do plano Cartesiano delimitada pelas circunferências
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas circunferências
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para descrever
e computar a integral.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
A circunferência
vira
. A outra,
, dá
Como estamos no primeiro quadrante
e
, temos
então a região entre as circunferências é
Passo 3
Em polares o integrando fica
Assim
Passo 4
Faço primeiro a integral em
:
Logo
Passo 5
Use a substituição
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Calcule:
logo
Passo 6
Voltando: