Calcule a integral dupla
\int_{R} \int x^{2} y d A
onde R é a região do 1 o quadrante do plano Cartesiano delimitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e}(x-1)^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} x^{2}y\,dA
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas circunferências
x^{2}+y^{2}=4 \quad\text{e}\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para descrever R e computar a integral.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A circunferência x^{2}+y^{2}=4 vira r=2. A outra, (x-1)^{2}+y^{2}=1, dá
r^{2}-2r\cos\theta+1=1 \;\Longrightarrow\; r=2\cos\theta.
Como estamos no primeiro quadrante 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} e \cos\theta\le1, temos
0\le r\le2, \quad 0\le r\le2\cos\theta,
então a região entre as circunferências é
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}, \quad 2\cos\theta\le r\le2.

Passo 3

Em polares o integrando fica
x^{2}y\,dA =(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =r^{4}\cos^{2}\theta\;\sin\theta\,dr\,d\theta.
Assim
\iint_{R}x^{2}y\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2\cos\theta}^{2} r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Faço primeiro a integral em r:
\int_{2\cos\theta}^{2}r^{4}\,dr =\biggl[\frac{r^{5}}{5}\biggr]_{r=2\cos\theta}^{2} =\frac{1}{5}\bigl(2^{5}-(2\cos\theta)^{5}\bigr) =\frac{32}{5}\bigl(1-\cos^{5}\theta\bigr).
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\iint_{R}x^{2}y\,dA =\frac{32}{5}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos^{5}\theta\bigr)\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Use a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0, u=1; quando \theta=\pi/2, u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos^{5}\theta)\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta =\int_{1}^{0}(1-u^{5})u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{7})\,du.
Calcule:
\int_{0}^{1}u^{2}\,du=\frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1}u^{7}\,du=\frac{1}{8},
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\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{7})\,du =\frac{1}{3}-\frac{1}{8} =\frac{5}{24}.

Passo 6

Voltando:
\iint_{R}x^{2}y\,dA =\frac{32}{5}\cdot\frac{5}{24} =\frac{32}{24} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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