Calcule a integral dupla:
integral duplaB y-x1+x+y d x d y
onde B é o triângulo com vértices nos pontos (0,0),(1,0) e (0 ; 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular uma integral dupla sobre um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). A função que vamos integrar é y - x1 + x + y. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites da integral dupla para uma região triangular e entender um pouco sobre integração em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração, que é o triângulo B com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Esse triângulo está no primeiro quadrante e é um triângulo reto. Para configurar os limites da integral, vamos fixar x e ver como y varia.

Passo 3

Observando o triângulo, para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de 0 até a linha que liga (1,0) e (0,1). A equação dessa linha é y = 1 - x. Então, nossos limites são:
  • x vai de 0 a 1
  • Para cada x, y vai de 0 a 1 - x

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x y - x1 + x + y , dy , dx
Vamos começar integrando em relação a y.

Passo 5

Para a integral interna integral0^1 - x y - x1 + x + y , dy, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = 1 + x + y, então du = dy.
Quando y = 0, u = 1 + x
Quando y = 1 - x, u = 2
Substituindo na integral:
integralu=1 + x^2 (u - 1 - x) - xu , du = integral1 + x^2 u - 1 - 2xu , du

Passo 6

Dividindo a fração:
integral1 + x^2 (1 - 1 + 2xu) , du
Integrando termo a termo:
[ u - (1 + 2x) ln |u| ]1 + x^2

Passo 7

Substituindo os limites:
(2 - (1 + 2x) ln 2) - ((1 + x) - (1 + 2x) ln (1 + x))
Simplificando:
2 - (1 + 2x) ln 2 - 1 - x + (1 + 2x) ln (1 + x) = 1 - x - (1 + 2x) ln 2 + (1 + 2x) ln (1 + x)

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 [1 - x - (1 + 2x) ln 2 + (1 + 2x) ln (1 + x)] , dx
Vamos separar essa integral em partes:
integral0^1 (1 - x) , dx - ln 2 integral0^1 (1 + 2x) , dx + integral0^1 (1 + 2x) ln (1 + x) , dx

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. integral0^1 (1 - x) , dx = [x - x^22]0^1 = 1 - 12 = 12
  2. ln 2 integral0^1 (1 + 2x) , dx = ln 2 [x + x^2]0^1 = ln 2 (1 + 1) = 2 ln 2
  3. Para integral0^1 (1 + 2x) ln (1 + x) , dx, usamos integração por partes:
    • Seja u = ln(1 + x), dv = (1 + 2x) dx
    • Então, du = 11 + x dx, v = x + x^2
    • Aplicando a fórmula uv - integral v , du:
    (x + x^2)ln(1 + x) |0^1 - integral0^1 (x + x^2) cdot 11 + x , dx
    Simplificando a integral:
    (1 + 1)ln 2 - integral0^1 (x + x^2) 11 + x , dx = 2 ln 2 - integral0^1 (x cdot 11 + x + x^2 cdot 11 + x) dx
    Simplificando mais:
    2 ln 2 - integral0^1 (x1 + x + x^21 + x) dx = 2 ln 2 - integral0^1 (1 - 11 + x + x - x1 + x) dx
    Integrando:
    2 ln 2 - [ x - ln(1 + x) + x^22 - (ln(1 + x) - x) ]0^1 = 2 ln 2 - (1 - ln 2 + 12 - (ln 2 - 1)) = 2 ln 2 - (32 - 2 ln 2) = 4 ln 2 - 32

Passo 10

Agora, juntando todas as partes:
12 - 2 ln 2 + (4 ln 2 - 32) = 12 - 2 ln 2 + 4 ln 2 - 32 = (4 ln 2 - 2 ln 2) + (12 - 32) = 2 ln 2 - 1

Resposta

A integral dupla vale 2 ln 2 - 1.

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