Determine a solução geral das equações: ddoty-4 doty+4 y=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para achar a solução geral da EDO ddot y - 4dot y + 4y = 0. Esse é um caso de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a gente vai usar o método do polinômio característico.

Passo 2

A gente supõe uma solução do tipo y = e^rt e deriva: dot y = r e^rt e ddot y = r^2 e^rt. Substituindo na equação original, ficamos com o polinômio característico
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Calculando as raízes desse polinômio: o discriminante é De, então
r = 4 pm 02 = 2
ou seja, temos uma raiz dupla r = 2.

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r, a forma geral da solução é
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^rt

Passo 5

Aplicando r = 2, concluímos que a solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^2t

Resposta

A solução geral é y(t) = (C1 + C2,t)e^2t.

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